AI 中文总结
本文提出一个针对复流形的鲁丁-卡尔森定理推广，结合插值与均匀逼近，适用于具有孔洞的紧集上的全纯映射。
AI 中文摘要
给定一个闭集 $E \subset \partial {\mathbb D}$，其测度为零，以及一个连续函数 $\varphi: E \to {\mathbb C}$，经典的鲁丁-卡尔森插值定理指出，存在一个连续函数 $F: \overline {\mathbb D} \to {\mathbb C}$，它在 ${\mathbb D}$ 上是全纯的，并且满足 $F\rvert_E = \varphi$。在本文中，我们得到一个鲁丁-卡尔森定理的推广，适用于映射 $\varphi: E \to X$ 到任意连通复流形 $X$ 的情况，该定理结合了 $\varphi$ 在 $E$ 上的插值与在 $\overline {\mathbb D} \setminus E$ 上的紧集上的均匀逼近另一个给定连续映射 $f:\overline {\mathbb D} \to X$ 的情况，该映射在 ${\mathbb D}$ 上是全纯的。在进一步假设 $X$ 是一个奥卡流形的情况下，我们得到一个推论，该推论结合了鲁丁-卡尔森插值连续映射 $\varphi: \overline {\mathbb D} \to X$ 在 $E$ 上的情况，以及在没有孔洞的紧集 $K\subset {\mathbb D}$ 上的Runge逼近 $\varphi$ 的情况，而无需任何额外条件。
英文摘要
Given a closed set $E \subset \partial {\mathbb D}$ of measure zero and a continuous function $φ: E \to {\mathbb C}$, the classical Rudin-Carleson interpolation theorem states that there exists a continuous function $F : \overline {\mathbb D} \to {\mathbb C}$ that is holomorphic on ${\mathbb D}$ and satisfies $F\rvert_E = φ$. In this paper we obtain a generalisation of the Rudin-Carleson theorem for maps $φ: E \to X$ into arbitrary connected complex manifolds $X$ that combines interpolation of $φ$ on $E$ with uniform approximation on compact subsets of $\overline {\mathbb D} \setminus E$ of another given continuous map $f:\overline {\mathbb D} \to X$ that is holomorphic on ${\mathbb D}$. Under the further assumption that $X$ is an Oka manifold we obtain a corollary that combines Rudin-Carleson interpolation of a continuous map $φ: \overline {\mathbb D} \to X$ on $E$ with Runge approximation of $φ$ on a compact set $K\subset {\mathbb D}$ without any holes on which $φ$ is holomorphic.
