AI 中文总结
研究具有\(\mathfrak{so}(d)\)不变性的动态最优传输，引入改进的MBB公式，确立极小值存在性及与静态公式等价，高斯下有闭式表达式，还制定原对偶计算方案并证明收敛性，展示了方法性能。
AI 中文摘要
我们引入了一种改进的最优传输的贝纳穆 - 布雷尼尔（MBB）公式，该公式在动态层面纳入了欧几里得不变性。我们确立了所得变分问题极小值的存在性，并证明其与定义普罗克拉斯提斯 - 瓦瑟斯坦距离的静态公式等价。在高斯设定下，我们表明该距离有闭式表达式，简化为协方差矩阵有序特征值平方根向量之间的欧几里得距离。在计算方面，我们为离散问题制定了原对偶方案。通过对一类参数依赖鞍点问题的抽象分析，我们证明了局部条件子序列收敛结果，并通过数值说明了该方法的性能。
英文摘要
We introduce a modified Benamou--Brenier (MBB) formulation of optimal transport that incorporates Euclidean invariance at the dynamical level. We establish existence of minimizers for the resulting variational problem and prove its equivalence to a static formulation defining the Procrustes--Wasserstein distance. In the Gaussian setting, we show that this distance admits a closed-form expression, reducing to the Euclidean distance between the vectors of square roots of the ordered eigenvalues of the covariance matrices. On the computational side, we formulate a primal--dual scheme for the discretized problem. We prove a local conditional subsequential convergence result through an abstract analysis of a class of parameter-dependent saddle-point problems and illustrate the method's performance numerically.
