AI 中文总结
研究诺特局部环上有限生成模，在模非科恩 - 麦考利时建立\(\mu_d(\mathfrak{m}, M)\)与秩的关系，又在特定条件下得出\(\text{injdim} \ M < \infty\)及环是科恩 - 麦考利的结论。
AI 中文摘要
设\((A,\mathfrak{m})\)是维数为\(d\)的诺特局部环，\(M\)是有限生成\(A -\)模且秩\(r>0\)。证明若\(M\)不是科恩 - 麦考利的，则\(\mu_d(\mathfrak{m}, M)>r\)。若\(A\)是无混合的且对某个\(n\geq d\)有\(\mu_n(\mathfrak{m}, M)\leq1\)，则\(\text{injdim} \ M < \infty\)且\(A\)是科恩 - 麦考利的。
英文摘要
Let $(A,\mathfrak{m})$ be a Noetherian local ring of dimension $d$ and let $M$ be a finitely generated $A$-module. Assume $M$ has rank $r > 0$. We show that if $M$ is NOT Cohen-Macaulay then $μ_d(\mathfrak{m}, M) > r$. If further $A$ is unmixed and $μ_n(\mathfrak{m}, M) \leq 1$ for some $n \geq d$ then we prove $\text{injdim} \ M < \infty$ and $A$ is Cohen-Macaulay.
