AI 中文总结
研究定向黎曼流形上拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子一阶部分几何内容，通过正交标架相关构造及变换，消除其一阶部分并代以标量势，揭示其几何作用。
AI 中文摘要
我们研究了定向黎曼流形上拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子一阶部分的几何内容。相对于任意局部正交标架，拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子的一阶部分定义了一个特殊向量场，其系数通过列维 - 奇维塔联络形式表示。相应的一元形式确定了一个协变导数，其联络分解消除了拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子的一阶部分并代之以自然标量势。该构造依赖于标架。我们表明其在正交标架局部旋转下的变换补偿了平方和部分的相应变化，使完整的拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子不变。这些结果揭示了拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子一阶部分的几何作用。
英文摘要
We investigate the geometric content of the first-order part of the Laplace--Beltrami operator on an oriented Riemannian manifold. Relative to an arbitrary local orthonormal frame, the first-order part of the Laplace--Beltrami operator defines a distinguished vector field, whose coefficients are expressed through the Levi--Civita connection forms. The corresponding one-form determines a covariant derivative whose connection factorization removes the first-order part of the Laplace--Beltrami operator and replaces it by a natural scalar potential. The construction is frame dependent. We show that its transformation under local rotations of the orthonormal frame compensates the corresponding variation of the sum-of-squares part, leaving the full Laplace--Beltrami operator invariant. These results reveal the geometric role of the first-order part of the Laplace--Beltrami operator.
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