变指数勒贝格空间中的傅里叶不等式
Fourier inequalities in variable Lebesgue spaces
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中文总结 AI 辅助
研究变指数勒贝格空间上傅里叶变换的有界性，通过获取指数 \(p(\cdot)\) 和 \(q(\cdot)\) 的条件，改进相关结果，且在特定条件下刻画了傅里叶变换有界的指数。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了变指数勒贝格空间上傅里叶变换的有界性。得到了指数 \(p(\cdot)\) 和 \(q(\cdot)\) 的必要条件以及独立的充分条件，在这些条件下不等式 \(\|\hat{f}\|_{q(\cdot)}\leq C\|f\|_{p(\cdot)}\) 对某个常数 \(C>0\) 和所有 \(f\in L^{p(\cdot)}(\mathbb{R})\) 成立。作为副产品，我们改进了Saucedo和Tikhonov的一些近期结果。此外，当 \(|x|\to +\infty\) 时 \(p(x)\to 1\) 且 \(q(x)\to +\infty\)，我们刻画了傅里叶变换有界的指数。
英文摘要
We study the boundedness of the Fourier transform on variable Lebesgue spaces. We obtain necessary conditions and, independently, sufficient conditions on the exponents $p(\cdot)$ and $q(\cdot)$ under which the inequality $$\|\hat{f}\|_{q(\cdot)}\leq C\|f\|_{p(\cdot)}$$ holds for some constant $C>0$ and all $f\in L^{p(\cdot)}(\mathbb{R})$. As a byproduct, we improve some recent results of Saucedo and Tikhonov. Moreover, when $p(x)\to 1$ and $q(x)\to +\infty$ as $|x|\to +\infty$, we characterize the exponents for which the Fourier transform is bounded.
