AI 中文总结
研究弱相互作用动力学朗之万动力学系统的扩散-平均场极限，将前人结果扩展到亚椭圆/亚强制情形，通过格林-库博等公式计算极限布朗运动协方差矩阵，分析\(O(2)\)模型，证明低温且有相变时两极限可能不可交换。
AI 中文摘要
我们研究了弱相互作用动力学朗之万动力学系统的联合扩散-平均场极限，将德尔加迪诺、瓦拉尼和帕夫利奥蒂斯（《理性力学与分析档案》，2021年）的结果扩展到亚椭圆/亚强制情形。我们表明，在没有相变的情况下，两个极限可交换，并使用格林-库博/基普尼斯-瓦拉丹公式计算极限布朗运动的协方差矩阵。然而，如果在低温且存在相变的情况下，两个极限可能不可交换。我们通过对磁场中\(O(2)\)模型的扩散-平均场极限进行详细分析来证明我们的发现。我们的分析基于系统地使用最近发展的亚强制性技术，以及平均场麦克凯恩-弗拉索夫-福克-普朗克偏微分方程的适当线性化。
英文摘要
We study the joint diffusive-mean field limit for a system of weakly interacting kinetic Langevin dynamics, extending the results of Delgadino, Gvalani and Pavliotis (Arch. Ration. Mech. Anal., 2021) to the hypoelliptic/hypocoercive case. We show that, in the absence of phase transitions, the two limits commute, and we calculate the covariance matrix of the limiting Brownian motion using the Green-Kubo/Kipnis-Varadhan formula. However, at low temperatures, and in the presence of phase transitions, the two limits may not commute. We demonstrate our findings by providing a detailed analysis of the diffusive-mean field limit for the $O(2)$ model in a magnetic field. Our analysis is based on the systematic use of recently developed hypocoercivity techniques, together with an appropriate linearization of the mean field McKean-Vlasov-Fokker-Planck partial differential equation.
