关于\(SO(3)\)的改进近似定律
Improved Almost laws for $SO(3)$
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中文总结 AI 辅助
研究构建\(SO(3)\)的定量近似定律，通过特定常数和非平凡字使\(\|W_n(A,B)-I\|\)满足不等式，改进了相关指数，还应用于改进库珀伯格单比特门算法的字长阈值。
中文摘要 AI 辅助
我们构建了关于\(SO(3)\)的定量近似定律。具体而言，存在常数\(c>0\)和非平凡字\(W_n\in F_2\)，使得对于任意\(A,B\in SO(3)\)，有\(\|W_n(A,B)-I\| \le \exp\!\left(-c |W_n|^{\delta}\right)\)，其中\(\delta=\log_2(x_0)\)，\(x_0>1\)是\(x^3=x^2+x+1\)的实根。这改进了从埃尔卡萨皮的下中心序列构造得到的指数\(\log_2\varphi\)。作为应用，展示了该结果如何改进库珀伯格单比特门的索洛维 - 基塔耶夫算法中的字长阈值。
英文摘要
We construct quantitative almost laws for $SO(3)$. More precisely, there exist a constant $c>0$ and non-trivial words $W_n\in F_2$ such that, for every $A,B\in SO(3)$, \[ \|W_n(A,B)-I\| \le \exp\!\left(-c |W_n|^δ\right), \] where $δ=\log_2(x_0)=0.879146\ldots$ and $x_0>1$ is the real root of $x^3=x^2+x+1$. This improves the exponent $\log_2φ$ obtained from Elkasapy's lower-central-series construction. As an application, we show how this result improves the word-length threshold in Kuperberg's Solovay--Kitaev algorithm for single-qubit gates.
