发表机构
Huawei Leibniz Research Center; The Chinese University of Hong Kong（华为莱布尼茨研究中心; 香港中文大学）
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研究提出 RCLUPPr 算法，它是一种新型随机化 CholeskyQR 型算法，先将 LUPP 分解作为预处理步骤，减少误差传播。分析表明其对病态矩阵适用性优，混合精度运算稳定准确，还提出加速策略，数值实验证实了算法的有效性。
AI 中文摘要
在本文中，我们对文献[RCLUPP]中提出的 RCLUPPr 进行了全面的舍入误差分析。RCLUPPr 是一种新型随机化 CholeskyQR 型算法，可直接对高瘦矩阵\(X\in\mathbb{R}^{m\times n}\)（\(m \ge n\)且\(\mbox{rank}(X)=n\)）执行带部分 pivoting 的 LU 分解（LUPP 分解）。与文献[RCLUPP]中先进行矩阵草图绘制再进行 LUPP 分解的现有 RCLUPP 不同，RCLUPPr 首先将 LUPP 分解作为预处理步骤，显著减少误差传播。我们的分析严格证明，RCLUPPr 对病态矩阵的适用性明显优于现有的 CholeskyQR 型算法，并且在混合精度运算中保持稳定和准确。我们还在 RCLUPPr 的实际实现中提出了实用的加速策略。在实际问题上的大量数值实验证实了本文的理论结果，证明了 RCLUPPr 在单精度、双精度和混合精度架构中的鲁棒性和实用性。
英文摘要
In this work, we present a comprehensive rounding error analysis for RCLUPPr, a recently developed randomized CholeskyQR-type algorithm introduced in \cite{RCLUPP}. This method performs LU factorization with partial pivoting (LUPP faztorization) directly on a full-rank tall-skinny matrix $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Unlike RCLUPP in \cite{RCLUPP}, which applies matrix sketching prior to LUPP factorization, RCLUPPr deploys LUPP as an initial preconditioning step to significantly mitigate the propagation of error significantly. Our rigorous analysis demonstrates that RCLUPPr exhibits superior robustness when applied to the ill-conditioned matrices compared to other CholeskyQR-type algorithms in the high precision. Furthermore, we develop some practical strategies in the implementation to accelerate RCLUPPr. Extensive numerical experiments on the real-world problems validate our theoretical findings, showcasing the robustness and the efficiency of RCLUPPr across the single, double and the mixed-precision frameworks.
