离散立方体骨架的端点基数
Sharp Bounds for Discrete Cube Skeleta
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中文总结 AI 辅助
研究确定包含特定立方体骨架的有限格集最小阶数问题，核心方法是结合中点估计、投影不等式及强归纳法，得出对于\(N\)个中心答案为\(N^{1-(n - k)/(2n^2)}\)，如含正方形边界的格集至少有常数倍\(N^{7/8}\)个点。
中文摘要 AI 辅助
我们确定了一个有限格集的最小阶数，该格集包含围绕某些\(N\)个中心的每个点的填充轴平行立方体骨架。对于固定整数\(0\leq k\lt n\)，\(N\)个中心的答案是\(N^{1-(n - k)/(2n^2)}\)，取决于\(n\)和\(k\)的常数。Thornton证明了每个较小的指数并给出了这个阶数的构造；当\(k\geq1\)时，端点下界未解决。我们的证明结合了中点估计、Shearer投影不等式的标记形式以及强归纳法，在没有二元鸽巢损失的情况下平衡大半径和小半径。特别地，包含围绕\(N\)个中心中每个中心的正方形边界的格集至少有常数倍的\(N^{7/8}\)个点。
英文摘要
Fix integers $0\leq k<n$. Let $F_{n,k}(N)$ be the least size of a finite set $B\subset\Z^n$ that contains a filled axis-parallel cube $k$-skeleton centered at each point of some $N$-point set. We prove that $F_{n,k}(N)$ has order $N^{1-(n-k)/(2n^2)}$, with constants depending only on $n$ and $k$. Thornton proved the upper bound and lower bounds with every smaller exponent; the endpoint lower bound was open for $k\geq1$. For square boundaries in $\Z^2$, the exponent is $7/8$. A midpoint count and Shearer's inequality handle large radii; induction in lattice cells handles small radii.
