AI 中文总结
研究关于不含两个成员平均值为单位分数的单位分数集问题，通过证明存在常数\(c>0\)及子集\(A\)，给出其大小下界，否定了Erdős和Graham的问题，还得到无平凡三项等差数列的单位分数集最大大小的最佳下界。
AI 中文摘要
我们证明存在常数\(c>0\)，使得对于所有足够大的\(N\)，存在子集\(A \subseteq \{1,\dots,N\}\)，其大小大于\(cN\)，且对于\(A\)中任意两个不同元素\(a,b\)，\(\frac{1}{a}\)与\(\frac{1}{b}\)的平均值不是单位分数，这否定了Erdős和Graham的一个问题。这也给出了关于无平凡三项等差数列的单位分数集最大大小的已知最佳下界。
英文摘要
We show that there is a constant $c>0$ such that, for all sufficiently large $N$, there is a subset $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ of size $>cN$ such that for any two distinct elements $a,b$ in $A$, the average of $\frac{1}{a}$ and $\frac{1}{b}$ is not a unit fraction, negatively answering a question of Erdős and Graham. This also gives the best known lower bounds on the maximum size of a set of unit fractions without non-trivial three-term arithmetic progressions.
