不含大的和集的稠密集合
Dense sets without large sumsets
AI总结：
研究存在满足特定条件的\(S \subset [n]\)，核心方法是证明\([n]\)的\(\delta\)-稠密随机子集是有效选择，主要贡献是解决了相关猜想并回答了作者的另一个问题，给出了\(\delta\)的取值范围。
AI中文摘要：
我们证明，对于所有固定的\(0 < \delta < 1\)以及所有足够大的\(n\)，存在\(S \subset [n]\)且\(|S| \geq \delta n\)，使得对于所有满足\(\min\{|A|, |B|\} \geq (3 + o(1)) \frac{\log n}{\log (1 / \delta)}\)的\(A, B \subset \mathbb{N}\)，都有\(A + B \not\subset S\)。Hernández和Hetzel最近的一个结果表明我们的界在3倍因子内是精确的，并且我们的结果共同解决了Kra、Moreira、Richter和Robertson的一个猜想。实际上，我们证明\([n]\)的一个\(\delta\)-稠密随机子集以高概率是\(S\)的一个有效选择，并且可以取\(n^{-\alpha} \leq \delta \leq 1 - c\)，其中\(c > 0\)是固定的且\(\alpha > 0\)仅取决于\(o(1)\)误差，以一种强形式回答了同一作者的另一个问题。
英文摘要：
We prove, for all fixed $0 < δ< 1$, and all sufficiently large $n$, that there exists $S \subset [n]$ with $|S| \ge δn$ such that $A + B \not \subset S$ for all ${A, B \subset \mathbb{N}}$ satisfying $$\min\big\{|A|, |B|\big\} \ge \big(3 + o(1)\big) \frac{\log n }{ \log (1 / δ)}.$$ A very recent result of Hernández and Hetzel shows that our bound is sharp up to a factor of 3, and together our results settle a conjecture of Kra, Moreira, Richter, and Robertson. In fact, we prove that a $δ$-dense random subset of $[n]$ is a valid choice for $S$ with high probability, and that one can take $n^{-α} \le δ\le 1 - c$ where $c > 0$ is fixed and $α> 0$ depends only on the $o(1)$ error, answering another question of the same authors in a strong form.
