关于\(\operatorname{GF}(q)\)可表示拟阵的柯瓦里 - 索斯 - 图兰定理
The Kővari-Sós-Turán theorem for $\operatorname{GF}(q)$-representable matroids
中文总结 AI 辅助
研究关于\(\operatorname{GF}(q)\)可表示拟阵的柯瓦里 - 索斯 - 图兰定理类似结果，通过特定条件得出\(|E(M)|\)的上界，尤其对无\(M(K_{2,t})\)限制的简单秩\(n\)二元拟阵确定元素最大数量及下界获取方式。
中文摘要 AI 辅助
本文建立了关于\(\operatorname{GF}(q)\)可表示拟阵的柯瓦里 - 索斯 - 图兰定理的类似结果。对于\(2\leq s\leq t\)，证明了若\(M\)是无\(M(K_{s,t})\)限制的秩\(n\)简单\(\operatorname{GF}(q)\)可表示拟阵，则\(|E(M)| = O_{q,s,t}(q^{(1 - 1/s)n})\)。特别地，证明了无\(M(K_{2,t})\)限制的简单秩\(n\)二元拟阵元素的最大数量是\(\Theta_{t}(2^{n/2})\)，下界通过二元西顿集得到。
英文摘要
In this paper, we establish an analogue of the Kővari-Sós-Turán Theorem for $\operatorname{GF}(q)$-representable matroids. For $2\leq s\leq t$, we show that if $M$ is a rank-$n$ simple $\operatorname{GF}(q)$-representable matroid having no $M(K_{s,t})$-restriction, then \[ |E(M)|=O_{q,s,t}\bigl(q^{(1-1/s)n}\bigr). \] In particular, we prove that the maximum number of elements in a simple rank-$n$ binary matroid with no $M(K_{2,t})$-restriction is $Θ_{t}(2^{n/2})$ where the lower bound is obtained using binary Sidon sets.
