长彩虹等差数列的阶
The order of long rainbow arithmetic progressions
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中文总结 AI 辅助
研究长彩虹等差数列中\(T_k\)的值，通过证明匹配的下界\(T_k=\Omega(k^2\log k)\)，得出\(T_k=\Theta(k^2\log k)\)，解决了之前猜想与证明中未完善的问题。
中文摘要 AI 辅助
设\(T_k\)为最小正整数\(t\)，使得对于每个正整数\(n\)，\([tn]\)的每个等数量\(t\)染色都包含一个彩虹\(k\)项等差数列。Jungić等人猜想\(T_k = \Theta(k^2)\)，Conlon等人证明\(T_k = O(k^2\log k)\)。本文证明了匹配的下界\(T_k=\Omega(k^2\log k)\)，从而得出\(T_k=\Theta(k^2\log k)\)。
英文摘要
Let $T_k$ be the minimum positive integer $t$ such that, for every positive integer $n$, every equinumerous $t$-coloring of $[tn]$ contains a rainbow $k$-term arithmetic progression. Jungić, Licht, Mahdian, Nešetřil and Radoičić conjectured that $T_k=Θ(k^2)$, while Conlon, Fox and Sudakov proved that $T_k=O(k^2\log k)$. We prove the matching lower bound $T_k=Ω(k^2\log k)$, and hence $T_k=Θ(k^2\log k)$.
