通过实对数典范阈值研究Morrey可容许性的几何准则
Geometric Criteria for Morrey Admissibility via the Real Log-Canonical Threshold
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中文总结 AI 辅助
研究具有原点孤立解析奇点的聚集方程在Morrey空间的局部适定性，通过奇点分辨率给出Morrey指数容许范围的几何表征，证明依赖该方法简化分析并获可积性估计，为相关核类提供准则，阈值由奇点双有理数据决定。
中文摘要 AI 辅助
在本文中，我们研究了在Morrey空间中具有在原点处孤立解析奇点的相互作用核的聚集方程的局部适定性。速度场由涉及核梯度的非局部卷积给出。我们假设在奇点附近，核的梯度在双边意义上与具有孤立零点的实解析函数的负幂解析可比。在此假设下，我们给出了Morrey指数容许范围的完整几何表征：当且仅当\(p < \min_i (a_i+1)/(2N_i - M_i)\)时，\(\nabla K \in L^p_{\mathrm{loc}}\)，其中\((N_i, M_i, a_i)\)是由\(f\)的零集的对数分辨率产生的消失阶数和差异指数。\(f\)的实对数典范阈值为此精确阈值提供了可计算的下界，并且对于牛顿非退化奇点两者重合。证明依赖于奇点分辨率，这将分析简化为单项式模型并产生必要的可积性估计。这为该理论涵盖的相互作用核类产生了一个几何准则，包括里斯型各向同性核和由解析除子产生的某些各向异性核。我们的结果表明，在这种情况下适定性的阈值由与奇点相关的分辨率理论（双有理）数据决定。
英文摘要
We study local integrability of gradients of singular interaction kernels in aggregation equations. Suppose near the singularity that $|\nabla K|\asymp|\nabla f|\,|f|^{-(κ+1)}$, where $κ>0$ and $f$ is real-analytic with $f(0)=0$. A real log-resolution of $f$ and its Jacobian ideal gives the exact criterion $\nabla K\in L^p_{\mathrm{loc}}$ if and only if $p<p^*(κ)$, where \[ p^*(κ)=\min_i\frac{a_i+1}{(κ+1)ν_i-M_i}. \] Here $ν_i$, $M_i$, and $a_i$ are the vanishing orders of $f$, those of its Jacobian ideal, and the discrepancy exponents. Moreover, $\operatorname{rlct}_0(f)/(κ+1)\leq p^*(κ)$, with equality exactly when an RLCT-computing divisor has $M_i=0$; in particular, the inequality is strict for isolated zeros in dimension at least two. For quasi-homogeneous singularities with isolated real zero, $p^*(κ)=|w|/(κd+\max_i w_i)$. Finally, if $p^*(κ)>1$, a suitable global truncation gives $\nabla K\in L^1(\mathbb R^n)$, yielding the kernel hypothesis in the Morrey-space well-posedness theorem of \cite{suleiman2023existence}.
