多个克劳森值与变形的类阿佩里级数
Multiple Clausen values and deformed Apéry-like series
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中文总结 AI 辅助
研究通过广义中心二项式系数定义的变形类阿佩里级数，核心方法是用多个克劳森值表示该级数，主要贡献是利用克劳森值间代数关系得出\(\mathscr A_{1,5}\)和\(\mathscr A_{4,4}\)的具体结果。
中文摘要 AI 辅助
通过欧拉伽马函数定义广义中心二项式系数\(\binom{2x}{x}:=\frac{\Gamma(2x + 1)}{[\Gamma(x + 1)]^2}\)，我们用属于\(3\)级分圆多重zeta值特殊类别的多个克劳森值来表示变形的类阿佩里级数\(\mathscr A_{s,n}\)。例如，利用多个克劳森值之间可证的代数关系，我们展示了\(\mathscr A_{1,5}\)和\(\mathscr A_{4,4}\)的具体表达式。
英文摘要
With generalized central binomial coefficients $ \binom{2x}{x}:=\frac{Γ(2x+1)}{[Γ(x+1)]^2}$ defined through Euler's gamma function, we represent deformed Apéry-like series \[ \mathscr A_{s,n}:=\sum_{k=1}^\infty\left.\!\frac{\partial^n}{\partial x^n}\frac{1}{x^s\binom{2x}{x}}\right|_{x=k} \] by multiple Clausen values (MCVs), which belong to a special class of cyclotomic multiple zeta values (CMZVs) at level $3$. For example, exploiting provable algebraic relations among MCVs, we show that \[\mathscr A_{1,5}=-\frac{9[495L(χ_{-3},6)-30π^{2}L(χ_{-3},4)-2π^{4}L(χ_{-3},2)]}{4}\]and\[\mathscr A_{4,4}=\frac{352ζ_{5,3}}{15}+\frac{752537π^{8}}{10206000},\]where $ L(χ_{-3},s):=\sum_{n=0}^\infty\left[(3n+1)^{-s}-(3n+2)^{-s}\right]$ and $ζ_{5,3}:=\sum_{m>n>0}m^{-5}n^{-3}$.
