AI 中文总结
研究关于满足特定条件的法诺三维簇上唐纳森 - 托马斯不变量的计算，核心方法是借助\(K\)理论唐纳森 - 托马斯理论及顶点代数组合性质，实现将秩\(r>0\)的吉塞克半稳定层不变量用特定秩\(0\)层不变量表示。
AI 中文摘要
设\(X\)为具有偶数典范类且满足广义博戈莫洛夫 - 吉塞克不等式的法诺三维簇，如\(\mathbb{P}^3\)。我们将计算\(X\)上秩\(r\)（\(r>0\)）的吉塞克半稳定层的唐纳森 - 托马斯不变量，用计算秩\(0\)且纯维度为\(2\)的层的不变量来表示。这实现了S. 费兹巴赫什和R. 托马斯在卡拉比 - 丘流形情形下启动的纲领的一个类似物。方法包括\(K\)理论唐纳森 - 托马斯理论，以及出乎意料地使用顶点代数的某些组合性质。
英文摘要
Let $X$ be a Fano $3$-fold with even canonical class which satisfies the generalized Bogomolov-Gieseker inequality, such as $\mathbb P^3$. We express Donaldson-Thomas invariants counting Gieseker semistable sheaves of rank $r$, where $r > 0$, on $X$ in terms of those counting sheaves of rank $0$ and pure dimension $2$. This implements an analogue of the programme initiated by S. Feyzbakhsh and R. Thomas in the case of Calabi-Yau varieties. The methods include $K$-theoretic Donaldson-Thomas theory and, quite unexpectedly, the use of certain combinatorial properties of vertex algebras.
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