AI 中文总结
本文研究了Walsh-Kaczmarz系统Fejér核的$L_1$范数上界，通过精确计算和分析得出其全局上界为71/50。
AI 中文摘要
我们研究了Walsh-Kaczmarz系统Fejér核的$L_1(G)$范数。在Walsh-Paley情况下，恒等式$\|K^w_{2^n}\|_1=1$（$n\in\mathbb N$）可以直接从二进制结构得出。Toledo的精确结果给出了全局上界$\sup_{n\in\mathbb P}\|K^w_n\|_1=\frac{17}{15}$。Walsh-Kaczmarz核行为不同。我们首先证明了$\sup_{n\in\mathbb N}\|K^\kappa_{2^n}\|_1=\lim_{n\to\infty}\|K^\kappa_{2^n}\|_1=\frac43$，并且序列$(\|K^\kappa_{2^n}\|_1:n\in\mathbb N)$是非递减的，并且从$n=2$开始严格递增。然后我们利用这一结果，Skvortsov分解中的精确拆分公式，以及精确的Walsh-Paley估计，得出精确的全局上界$\sup_{n\in\mathbb P}\|K^\kappa_n\|_1=\frac{71}{50}$。
英文摘要
We study the $L_1(G)$-norms of Fejér kernels for the Walsh--Kaczmarz system. In the Walsh--Paley case the identity \[ \|K^w_{2^n}\|_1=1 \qquad (n\in\mathbb N) \] follows directly from the binary structure. Toledo's sharp result gives the global supremum \[ \sup_{n\in\mathbb P}\|K^w_n\|_1=\frac{17}{15}. \] The Walsh--Kaczmarz kernels behave differently. We first prove that \[ \sup_{n\in\mathbb N}\|K^κ_{2^n}\|_1=\lim_{n\to\infty}\|K^κ_{2^n}\|_1=\frac43, \] and we prove that the sequence $(\|K^κ_{2^n}\|_1:n\in\mathbb N)$ is non-decreasing and is strictly increasing from $n=2$ on. Then we use this result, an exact splitting formula from Skvortsov's decomposition, and the sharp Walsh--Paley estimates. This gives the exact global supremum \[ \sup_{n\in\mathbb P}\|K^κ_n\|_1=\frac{71}{50}. \]
Comments-
