AI 中文总结
研究希尔伯特球上质心的存在性，给出质心存在的假设，表明找球面上数据样本质心是特定子球面上的优化问题，得出相关统计意义。
AI 中文摘要
弗雷歇均值和 \(L^p\) 质心提供了度量空间中平均位置的概念。在有限维球面上，由于紧致性可知质心存在。在无限维球面上，质心是否总是存在尚不清楚。我们证明情况并非总是如此，并给出了质心存在的一个简单假设。然后表明，在球面上找到数据 \(x_1, \ldots, x_n\) 的样本质心始终是一个关于至多 \(n\) 维子流形子球面上的优化问题，而不论球面潜在的无限维数。最后得出了一些统计意义。
英文摘要
Fréchet means and $L^p$ centres of mass provide notions of average location in metric spaces. On finite-dimensional spheres, existence follows from compactness. On infinite-dimensional spheres, it is not known whether a centre of mass always exists. We show that this is not always the case, and give a simple assumption under which a centre of mass exists. We then show that finding the sample centre of mass of data $x_1, \ldots, x_n$ on the sphere is always an optimisation problem on a subsphere of manifold dimension at most $n$, regardless of the potentially infinite dimension of the sphere. We conclude with some statistical implications.
