AI 中文总结
本文研究了环境域 Hardy-Littlewood 最大算子在加权 Musielak-Orlicz 空间上的有界性，并证明了其与加权 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中 C_c^∞(Rⁿ) 的稠密性关系。
AI 中文摘要
我们研究了在一般的开放集 Ω⊂Rⁿ 上的加权 Musielak-Orlicz 空间上的环境域 Hardy-Littlewood 最大算子 [M_Ωf(x):=sup_{B∋x}(1/|B|)∫_{B∩Ω}|f(y)|dy, x∈Ω]。对于一个 Musielak-Orlicz 函数 φ，我们使用点wise 下 Matuszewska-Orlicz 指数 p_φ(·) 和下指数归一化 [ψ_φ(x,t)=φ(x,t)^{1/p_φ(x)}]。这个因子分解了模作为加权变量指数模应用于 ψ_φ(x,|f|)。在端点下增长、归一化加权广义 Orlicz (A0)-(A2) 假设和在下指数处的可接受全空间扩展假设下，我们证明了 [M_Ω:L^φ(·)_ω(Ω)→L^φ(·)_ω(Ω)] 的有界性。对于反向方向，我们使用自然的 Köthe-关联环境球条件 A_φ(Ω)。M_Ω 的有界性意味着 ω∈A_φ(Ω)。在全空间 Rⁿ 上，这个框架恢复了变量指数和标量 Orlicz 模型的经典特征。作为应用，我们证明了 C_c^∞(Rⁿ) 在加权 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中的稠密性。
英文摘要
We study the ambient-domain Hardy--Littlewood maximal operator \[ \mathcal M_Ωf(x) := \sup_{B\ni x}\frac1{|B|}\int_{B\capΩ}|f(y)|\,dy, \qquad x\inΩ \] on weighted Musielak--Orlicz spaces over a general open set \(Ω\subset\mathbb R^n\), where the supremum is taken over all Euclidean balls \(B\subset\mathbb R^n\). For a Musielak--Orlicz function \(φ\), we use the pointwise lower Matuszewska--Orlicz index \(p_φ(\cdot)\) and the lower-index normalization \[ ψ_φ(x,t)=φ(x,t)^{1/p_φ(x)}. \] This factorizes the modular as a weighted variable-exponent modular applied to \(ψ_φ(x,|f|)\). Under endpoint lower growth, normalized weighted generalized Orlicz \((A0)\)--\((A2)\) assumptions and an admissible whole-space extension hypothesis for the weight at the lower-index exponent, we prove the boundedness of \[ \mathcal M_Ω:L^{φ(\cdot)}_ω(Ω)\to L^{φ(\cdot)}_ω(Ω). \] For the converse direction we use the natural Köthe-associate ambient ball condition \(A_φ(Ω)\). Under the local characteristic-function hypothesis, boundedness of \(\mathcal M_Ω\) implies \(ω\in A_φ(Ω)\). On the whole space \(\mathbb R^n\), this framework provides a weighted characterization conditional on an associate-to-lower-index product reduction. In the present paper this reduction is verified for uniformly lower-index-power-equivalent models; it remains open for genuinely two-phase growth such as \(t^p+a(x)t^q\). As an application, we prove density of \(C_c^\infty(\mathbb R^n)\) in weighted Musielak--Orlicz--Sobolev spaces.
Comments36 pages
