AI 中文总结
研究\(\mathrm{GL}(2)\)自守形式谱矩，考虑谱参数在二进区间的赫克 - 马阿斯尖形式族于黑格纳点的第四矩，建立最优界并应用于移位卷积问题及逐点丢番图指数。
AI 中文摘要
在本笔记中，我们为\(\mathrm{GL}(2)\)自守形式的某些谱矩建立了基本最优界。具体而言，我们考虑谱参数在二进区间的赫克 - 马阿斯尖形式族，并研究这些形式在一个黑格纳点处的第四矩。此外，我们还展示了主要结果在涉及两个平方和函数\(r(n)\)的移位卷积问题以及逐点丢番图指数方面的应用。
英文摘要
In this note, we establish essentially optimal bounds for certain spectral moments of automorphic forms for $\mathrm{GL}(2)$. More precisely, we consider the family of Hecke--Maaß cusp forms with spectral parameter in a dyadic interval and study the fourth moment of these forms evaluated at a Heegner point. We additionally present applications of our main result to the shifted convolution problem involving the sum of two squares function $r(n)$ as well as to pointwise Diophantine exponents.
Comments26 pages, 1 figure
