AI 中文总结
研究维滕zeta函数，通过将首项格系数与临界指数处积分识别并利用相关恒等式计算，证明其在$s = 2/h$有简单极点及留数公式，确立猜想并获渐近式，给出维数至多为$X$的不可约表示数量的非陶伯型渐近。
AI 中文摘要
设$\Phi$是秩为$r$的不可约晶体根系，具有考克斯特数$h$、外尔群$W$、嘉当矩阵$C_\Phi$以及不变次数$2 = d_1\leq\cdots\leq d_r = h$。我们证明了Au的归一化维滕zeta函数$\xi_\Phi(s)$在$s = 2/h$处有一个简单极点，留数为$\mathop{\rm Res}_{s = 2/h}\xi_\Phi(s)=\frac{2(2\pi)^{r/2}\sqrt{\det C_\Phi}}{h|W|}\frac{\prod_{i = 1}^{r - 1}\Gamma(1 - d_i/h)}{\Gamma(1 - 1/h)^r}$。通过将首项格系数与临界指数处的收敛球考克斯特判别积分进行识别，并利用麦克唐纳 - 梅塔 - 奥普达姆恒等式的边界极点来计算该积分。证明了适当的抛物层是严格次临界的。这确立了Au的伽马积形状猜想及其在$A_4$型中的预测。我们还得到了一个直接的、非陶伯型渐近式，对于每个简单类型都有明确的常数，用于表示维数至多为$X$的不可约表示的数量。
英文摘要
Let $Φ$ be an irreducible crystallographic root system of rank $r$, with Coxeter number $h$, Weyl group $W$, Cartan matrix $C_Φ$, and invariant degrees $2=d_1\leq\cdots\leq d_r=h$. We prove that Au's normalized Witten zeta function has a simple pole at $2/h$ and evaluate its residue as $\frac{2(2π)^{r/2}\sqrt{\det C_Φ}}{h|W|}\cdot\frac{\prod_{i<r}Γ(1-d_i/h)}{Γ(1-1/h)^r}$. The central step evaluates the critical chamber integral in gamma values from the boundary pole of the Macdonald-Mehta-Opdam identity; two preparatory sections pass from the dominant-weight lattice to that convergent integral. This proves Au's conjecture on algebraic multiples of products of gamma values at rational arguments, including his $A_4$ prediction.
