长圈的远距离埃尔德什 - 波萨性质
Far-apart Erdős--Pósa property of long cycles
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中文总结 AI 辅助
研究图中长圈的远距离埃尔德什 - 波萨性质，证明存在函数 \(f\) 和 \(g\)，推广相关定理，给出 \(f(k,\ell)\) 和 \(g(d)\) 的界，改进了 \(\ell = 3\) 时的先前结果。
中文摘要 AI 辅助
我们证明存在函数 \(f:\mathbb N^2\to\mathbb N\) 和 \(g:\mathbb N\to\mathbb N\)，使得对于所有正整数 \(k\)、\(d\) 和 \(\ell\ge3\)，每个图 \(G\) 要么包含 \(k\) 个长度至少为 \(\ell\) 且两两距离大于 \(d\) 的圈，要么存在一个顶点子集 \(X\)，其大小 \(|X|\le f(k,\ell)\)，使得 \(G - B_G(X,g(d))\) 不包含长度至少为 \(\ell\) 的圈，其中 \(B_G(X,r)\) 表示以 \(X\) 为中心半径为 \(r\) 的球。这推广了杜伊莫维奇、若雷、米塞克和莫林（2024 年）的一个定理，该定理建立了 \(\ell = 3\) 的情况。此外，我们证明该定理在 \(f(k,\ell)\in\mathcal{O}(\ell k\log k)\) 和 \(g(d)\in\mathcal{O}(d)\) 时成立。\(g\) 的线性界是最优的，而 \(f\) 关于 \(k\) 的界对于每个固定的 \(\ell\) 是最优的。特别地，对于 \(\ell = 3\)，我们的结果改进了杜伊莫维奇等人之前的 \(\mathcal{O}(k^{18}\mathsf{polylog} k)\) 的界。
英文摘要
We prove that there exist functions $f:\mathbb N^2\to\mathbb N$ and $g:\mathbb N\to\mathbb N$ such that for all positive integers $k$, $d$, and $\ell\ge3$, every graph $G$ either contains $k$ cycles of length at least $\ell$ that are pairwise at distance greater than $d$, or admits a subset of vertices $X$ with $|X|\le f(k,\ell)$ such that $G-B_G(X,g(d))$ contains no cycle of length at least $\ell$, where $B_G(X,r)$ denotes the ball of radius $r$ around $X$. This generalizes a theorem of Dujmović, Joret, Micek, and Morin (2024), which established the $\ell=3$ case. Moreover, we prove that the theorem holds with $f(k,\ell)\in\mathcal{O}(\ell k\log k)$ and $g(d)\in\mathcal{O}(d)$. The linear bound on $g$ is best possible, while the bound on $f$ is optimal as a function of $k$ for every fixed $\ell$. In particular, for $\ell=3$ our result improves the previous bound of $\mathcal{O}(k^{18}\mathsf{polylog} k)$ by Dujmović et al.
