度量测度空间上极限贝索夫迹的有界线性延拓算子不存在性
On the Linearity of Extension Operators for Traces of Besov Spaces on Metric Measure Spaces: The Limiting Case
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中文总结 AI 辅助
研究度量测度空间上极限贝索夫迹的有界线性延拓算子问题，给定特定条件下的空间与集合，通过分析集合性质，证明不存在从 \(L_p(E,\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_E)\) 到 \(B^{\theta/p}_{p,1}(X)\) 的有界线性延拓算子。
中文摘要 AI 辅助
设 \(p\in[1,\infty)\)，\(X=(X,d,\mu)\) 是一个度量测度空间，\(\mu\) 是一致局部加倍的且 \(X\) 支持局部弱 \((1,p)\)-庞加莱不等式。给定 \(\theta\in(0,p)\) 以及 \(X\) 中一个阿尔福斯 - 大卫余维数为 \(\theta\) 的正则集 \(E\)，贝索夫空间 \(B^{\theta/p}_{p,1}(X)\) 到 \(E\) 的迹空间可与 \(L_p(E,\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_E)\) 等同。若存在 \(E\) 的可测子集 \(A\) 满足 \(0<\mathcal H_\theta(A)<\infty\) 且 \(\mathcal H_\theta\lfloor_A\) 是非原子的，我们证明不存在有界线性延拓算子 \(\operatorname{Ext}:L_p(E,\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_E) \to B^{\theta/p}_{p,1}(X)\)。
英文摘要
Let $p\in[1,\infty)$, and let $X=(X,d,μ)$ be a metric measure space such that $μ$ is uniformly locally doubling and $X$ supports a local weak $(1,p)$-Poincaré inequality. Given $θ\in(0,p)$ and an Ahlfors--David codimension-$θ$ regular set $E\subset X$, the trace-space of the Besov space $B^{θ/p}_{p,1}(X)$ to $E$ can be identified with $L_p(E,\mathcal{H}_θ\lfloor_E)$. If there exists a measurable set $A\subset E$ with $0<\mathcal H_θ(A)<\infty$ such that $\mathcal H_θ\lfloor_A$ is nonatomic, we prove that there is no bounded linear extension operator $\operatorname{Ext}:L_p(E,\mathcal{H}_θ\lfloor_E) \to B^{θ/p}_{p,1}(X)$.
