AI 中文总结
研究混合局部非局部算子加势\(V\)的第一特征值优化问题，通过研究特征值性质，讨论其对势函数的依赖性，证明在特定子集上第一特征值存在唯一最大化者和最小化者，并能刻画相关类中的最值情况。
AI 中文摘要
在这项工作中，我们研究混合局部非局部算子加上势\(V\)的第一特征值的优化问题。首先研究特征值的存在性和基本性质，特别关注第一特征值。最后讨论第一特征值对势函数的依赖性，并在某些可允许类中建立最优势的存在性。具体而言，我们证明了在\(L^q(\Omega)\)的任何有界、闭且凸子集上，第一特征值存在唯一的最大化者和最小化者。此外，这些结果使我们能够刻画\(L^q(\Omega)\)闭单位球以及任何\(V\in L^q(\Omega)\)的重排类中的最大化者和最小化者。
英文摘要
In this work, we study the optimization problem for the first eigenvalue of mixed local nonlocal operators plus a potential $V$. We begin by investigating the existence and fundamental properties of the eigenvalues, with special emphasis on the first eigenvalue. Finally, we discuss the dependence of the first eigenvalue on the potential function and establish the existence of optimal potentials within certain admissible classes. In particular, we show the existence of a unique maximizer and a minimizer of the first eigenvalue on any bounded, closed, and convex subset of $L^q(Ω)$. Moreover, these results enable us to characterize the maximizers and minimizers in the closed unit ball of $L^q(Ω)$, as well as in the class of rearrangements of any $V\in L^q(Ω)$.
Comments19 pages
