通过常数项法对阿尔达尔 - 伦斯特拉分母进行多项式时间求值
Polynomial-Time Evaluation of Aardal-Lenstra Denumerants via Constant Term Method
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
研究阿尔达尔 - 伦斯特拉分母问题，提出多项式时间算法，消除计算瓶颈，其时间复杂度仅取决于\(n\)和\(\Delta\)，还用LLL算法考虑向量表示问题。
中文摘要 AI 辅助
阿尔达尔和伦斯特拉系统研究了形如\(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b\)的难背包问题，其中\(a_i=p_iM+r_iN\)，\((M,N)\)为互质正整数对，\(|p_i|\)、\(|r_i|\)相对于\(M\)和\(N\)较小。我们研究了相应的具有挑战性的分母问题（即计算非负整数解的数量）并提出多项式时间算法，消除了由\(M\)、\(N\)和\(b\)的大值导致的计算瓶颈。该算法时间复杂度为\(O(n^4\Delta^2\log n\log\Delta)\)，仅取决于参数\(n\)和\(\Delta=\max_{i,j}|r_i p_j - r_j p_i|\)。此外，我们用LLL算法考虑将一般向量\((a_1,\dots,a_n)\)表示为上述形式的问题。
英文摘要
Aardal and Lenstra systematically studied hard knapsack problems of the form $a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b$, where $a_i=p_iM+r_iN$, $(M,N)$ is a coprime pair of positive integers, and the integers $|p_i|, |r_i|$ are small relative to $M$ and $N$. We investigate the corresponding challenging denumerant problem (i.e., counting the number of nonnegative integer solutions) and present a polynomial-time algorithm. This eliminates the computational bottlenecks caused by large values of $M$, $N$ and $b$. The proposed algorithm achieves a time complexity of $O(n^4Δ^2\log n\logΔ)$, which depends solely on the parameters $n$ and $Δ=\max_{i,j}|r_i p_j - r_j p_i|$. Moreover, we consider the problem of expressing a general vector $(a_1,\dots,a_n)$ in the above form using the LLL algorithm.
