雅可比θ级数的正性与尾部
Positivity and tails of Jacobi theta series
AI总结：
该研究利用基本q级数运算，建立雅可比θ级数尾部正性性质，定义相关级数等式，证明对特定整数范围，系数J_{k,n}(m)恒为正，为该领域研究提供了新结论。
AI中文摘要：
利用基本的q级数运算，我们建立了雅可比θ级数尾部的一个正性性质。具体而言，对于整数k≥1和n≥0，定义了一个级数等式。我们证明了对于所有整数k≥1和n≥0，系数J_{k,n}(m)在-(k + n)≤m≤k + n时为正。
英文摘要：
Using elementary $q$-series manipulations, we establish a positivity property for the tails of the Jacobi theta series. Specifically, for integers $k\ge 1$ and $n\ge 0$, define \[ \sum_{n\ge0}\sum_{m\in\mathbb{Z}}J_{k,n}(m)z^m q^{n} = \frac{(-1)^k q^{-\binom{k+1}{2}}}{(z)_{\infty}(q/z)_\infty} \sum_{j\ge k}(-1)^jq^{\binom{j+1}{2}}z^{-j}(1-z^{2j+1}), \] where $(a)_\infty:=\prod_{n\ge0}(1-aq^n)$ denotes the $q$-shifted factorial. We prove that for all integers $k\ge 1$ and $n\ge 0$, the coefficients $J_{k,n}(m)$ are positive for all integers $-(k+n)\le m\le k+n$.
