关于单位球中具有平坦法丛的极小浸入子流形的陈省身猜想
On Chern's Conjecture for Minimal Submanifolds with Flat Normal Bundle in Spheres
AI总结：
研究单位球中具有平坦法丛的闭极小浸入子流形，通过证明关于其第二基本形式平方范数 \(S\) 的第二间隙刚性定理，在特定条件下确定 \(S\) 的取值，为高余维的陈省身猜想提供了正面证据。
AI中文摘要：
设 \(M^n\)（\(n\geqslant3\)）是单位球 \(\mathbb S^{n+m}\)（\(m\geqslant2\)）中具有平坦法丛的闭极小浸入子流形，\(S\) 表示其第二基本形式的平方范数。我们证明了一个关于 \(S\) 的明确的第二间隙刚性定理。具体而言，如果 \(S\) 是常数且 \(0\leqslant S\leqslant n+\delta\)，其中 \(\delta\) 是一个明确的常数且 \(\delta\geqslant \frac{n}{87}\)，那么要么 \(S\equiv0\) 且 \(M\) 是全测地球面，要么 \(S\equiv n\) 且 \(M\) 是包含在全测地的 \(\mathbb S^{n+1}\subset\mathbb S^{n+m}\) 中的 Clifford 环面。我们观察到这里平坦法丛的假设是必要的。在一般的高余维情形下，平坦法丛条件是至关重要的：没有它，相应的刚性陈述在二维时就已经不成立了。该定理为高余维的陈省身猜想提供了正面证据。
英文摘要：
Let $M^n$ $(n\geqslant3)$ be a closed minimal submanifold in the unit sphere $\mathbb S^{n+m}$ $(m\geqslant2)$ with flat normal bundle, and let $S$ denote the squared norm of its second fundamental form. We prove an explicit second-gap rigidity theorem for $S$. More precisely, if $S$ is constant and \[ 0\leqslant S\leqslant n+δ, \] where $δ$ is an explicit constant satisfying $δ\geqslant \frac{n}{87}$, then either $S\equiv0$ and $M$ is a totally geodesic sphere, or $S\equiv n$ and $M$ is a Clifford torus contained in a totally geodesic $\mathbb S^{n+1}\subset\mathbb S^{n+m}$. %We observe that the flat-normal-bundle assumption is necessary here. The flat-normal-bundle condition is essential in the general higher-codimensional setting: without it, the corresponding rigidity statement already fails in dimension two. This theorem provides positive evidence for Chern's conjecture in higher codimension.
