通用覆盖上双曲球体积的一致比较
Uniform Comparison of Hyperbolic Ball Volumes on the Universal Cover
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中文总结 AI 辅助
研究闭定向$n$ - 流形$M$上双曲度量相关问题，通过设定条件$\frac{\operatorname{Vol}_g(M)}{\|M\|_{\Delta}}<\delta_n$，得出满足此条件的黎曼度量$g$在通用覆盖上的双曲球体积相关结论。
中文摘要 AI 辅助
设$\|M\|_{\Delta}$表示$M$的单纯体积，$V_r(X,h)=\sup_{x\in X}\operatorname{Vol}_h\big(B_h(x,r)\big)$，$\mathbb{H}^n$表示双曲$n$ - 空间。我们证明，若闭定向$n$ - 流形$M$允许双曲度量，则存在维数常数$\delta_n>0$，使得$M$上满足$\frac{\operatorname{Vol}_g(M)}{\|M\|_{\Delta}}<\delta_n$的每个黎曼度量$g$，对每个$r\geq1$都满足$V_r(\widetilde M,\widetilde g)\geq V_r(\mathbb{H}^n)$。
英文摘要
Let $\|M\|_Δ$ denote the simplicial volume of $M$, $V_r(X,h)=\sup_{x\in X}\operatorname{Vol}_h\big(B_h(x,r)\big)$, and $\mathbb{H}^n$ denotes hyperbolic $n$-space. We prove that, if a closed oriented $n$-manifold $M$ admits a hyperbolic metric, then there is a dimensional constant $δ_n>0$ such that every Riemannian metric $g$ on $M$ with \[ \frac{\operatorname{Vol}_g(M)}{\|M\|_Δ}<δ_n \] satisfies \[ V_r(\widetilde M,\widetilde g)\ge V_r(\mathbb{H}^n) \quad\text{for every }r\ge 1. \]
