$L_K(1,d)$单位群的矩阵生成元
Matrix generators for the unit groups of $L_K(1,d)$
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中文总结 AI 辅助
研究$L_K(1,d)$单位群的矩阵生成元问题，通过根$d$元树中的有序叶集确定一般线性群副本，证明其可生成$L_d^\times$，刻画有限生成性等，在有限域上建立与不稳定$K_2$群的联系并计算$K_2(L_d)$。
中文摘要 AI 辅助
设$K$为一个域，令$L_d = L_K(R_d) \cong L_K(1,d)$。根$d$元树中的有序叶集在$L_d^\times$内确定了$K$上一般线性群的副本。我们证明对于每个$d\geq2$，这些副本生成$L_d^\times$。二元情形下，$L_2^\times=\langle 1 + eaf^*, 1 + fbe^*: a,b\in L_2\rangle$。我们刻画了$L_d^\times$的有限生成性，确定了单项式矩阵所代表的子群，并将$\GL_\infty(K)$嵌入$L_2^\times$。在有限域上，$L_d^\times$的有限可表示性等同于对于每个$n = 1 + r(d - 1) \geq 5$（$r\geq0$）时不稳定$K_2$群$K_2(n,L_d)$的有限生成性；我们还计算了$K_2(L_d)$。
英文摘要
Let $K$ be a field and put $L_d=L_K(R_d)\cong L_K(1,d)$. Ordered leaf sets in the rooted $d$-ary tree determine copies of general linear groups over $K$ inside $L_d^\times$. We prove that these copies generate $L_d^\times$ for every $d\geq2$. In the binary case, $L_2^\times=\langle 1+eaf^*,1+fbe^*:a,b\in L_2\rangle$. We characterize finite generation of $L_d^\times$, determine the subgroup represented by monomial matrices, and embed $\GL_\infty(K)$ in $L_2^\times$. Over a finite field, finite presentability of $L_d^\times$ is equivalent to finite generation of the unstable $K_2$-group $K_2(n,L_d)$ for every $n=1+r(d-1)\geq5$, where $r\geq0$; we also compute $K_2(L_d)$.
