AI 中文总结
本研究针对凯尔纳关于威尔逊商的猜想，利用\(p\)进对数和指数函数给出同余式的\(p\)进证明，还通过完全贝尔多项式给出多项式\(\psi_\nu\)的显式生成函数，从而解决了凯尔纳的两个猜想。
AI 中文摘要
凯尔纳用费马商的幂和表示了奇素数\(p\)的威尔逊商\(W_p\)的高阶同余式，并递归构造了这些同余式中出现的某些与\(p\)无关的多项式\(\psi_\nu\)。在本笔记中，我们使用\(p\)进对数和\(p\)进指数函数给出这些同余式的一个简单的\(p\)进证明。我们还根据完全贝尔多项式给出了多项式\(\psi_\nu\)的一个显式生成函数。这给出了凯尔纳多项式的直接推导，并使我们能够解决凯尔纳提出的两个猜想。
英文摘要
Kellner expressed higher congruences for the Wilson quotient $W_p$ of an odd prime $p$ in terms of power sums of Fermat quotients, and recursively constructed certain $p$-independent polynomials $ψ_ν$ occurring in these congruences. In this note, we give a simple $p$-adic proof of these congruences using the $p$-adic logarithm and $p$-adic exponential function. We also provide an explicit generating function for the polynomials $ψ_ν$ in terms of complete Bell polynomials. This gives a direct derivation of Kellner's polynomials and allows us to resolve two conjectures stated by Kellner.
