AI 中文总结
研究针对\(n\geq2\)时\(\mathbb{R}^n\)上偶数对数凹概率测度，证明存在指数\(p_n\)满足特定不等式，且\(p_n\)有\(\frac{c}{n^2\ln n}\)的下界，给出维数 Brunn - Minkowski 不等式中一致界。
AI 中文摘要
对于每个\(n\geq2\)，我们证明存在一个指数\(p_n\)，使得对于\(\mathbb{R}^n\)上的每个偶数对数凹概率测度\(\mu\)，所有非空对称凸集\(K,L\subseteq\mathbb{R}^n\)以及所有\(\lambda\in[0,1]\)，有\(\mu(\lambda K + (1 - \lambda)L)^{p_n} \geq \lambda\mu(K)^{p_n} + (1 - \lambda)\mu(L)^{p_n}\)，其中\(p_n\geq\frac{c}{n^2\ln n}\)，\(c\)为某个绝对正常数。
英文摘要
For every $n\ge 2$, we prove that there exists an exponent $p_n$ such that, for every even log-concave probability measure $μ$ on $\mathbb R^n$, all nonempty symmetric convex sets $K,L\subseteq\mathbb R^n$, and all $λ\in[0,1]$, $$ μ(λK+(1-λ)L)^{p_n} \ge λμ(K)^{p_n}+(1-λ)μ(L)^{p_n}, $$ where $$ p_n\ge \frac{c}{n^2\ln n} $$ for some absolute constant $c>0$.
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