AI 中文总结
本文改进了 $d_3(n)$ 求和函数误差项的显式界，将指数从 $2/3$ 和 $859/1400$ 改进到 $1/2$，为大范围 $x$ 提供了最佳界。
AI 中文摘要
在本文中，我们改进了与 N. Palojärvi 早期工作的方法，以获得与 \(d_3(n)\) 求和函数相关的误差项 \(\Delta_3(x)\) 更精确的显式界。我们证明了 \(\vert\Delta_3(x)\vert\) 在不同区间有不同上界。这些显式结果将 \(x\) 的指数从 Tudzi 的 \(2/3\) 以及 Palojärvi 和 Tudzi 的 \(859/1400\) 提高到了 \(1/2\)，为所有 \(x\geq3.682\cdot10^{31}\) 给出了已知的最佳界。
英文摘要
In this article, we refine the method of our earlier work with N. Paloj{ä}rvi to obtain a sharper explicit bound for the error term $Δ_{3}(x)$ associated with the summatory function of $d_{3}(n)$. We prove that \begin{equation*} |Δ_3(x)| < \begin{cases} 0.6901\,x^{\frac{1}{2}}\log^{\frac{7}{2}}x, & 3.682\cdot 10^{31}\le x < 4.133\cdot 10^{87},\\[4pt] 0.2067\,x^{\frac{1}{2}}\log^{\frac{7}{2}}x, & 4.133\cdot 10^{87} \le x < 1.597\cdot 10^{98},\\[4pt] 0.1947\,x^{\frac{1}{2}}\log^{\frac{7}{2}}x, & x \ge 1.597\cdot 10^{98}. \end{cases} \end{equation*} These explicit results improve the exponent of $x$ from $2/3$, due to Tudzi, and $859/1400$, due to Paloj{ä}rvi and Tudzi, to $1/2$, giving the best known bound for all $x\ge 3.682\cdot 10^{31}$.
Comments15 pages
