AI 中文总结
研究不含诱导子图\(K_{1,k}\)的图的最大拉普拉斯特征值问题，通过结合拉普拉斯瑞利向量符号分解与独立集加权局部卡罗 - 魏不等式，证明\(\mu(G)\leq(2-\frac{2}{k})(d + 1)\)，给出该问题更强精确界。
AI 中文摘要
设\(G\)是最大度为\(d\)的简单图，\(\mu(G)\)表示其拉普拉斯矩阵的最大特征值。对于固定整数\(k\geq2\)，Aharoni、Alon和Berger（2016年）提出问题：每个不含诱导子图\(K_{1,k}\)的图是否满足\(\mu(G)\leq(2 - \frac{2}{k} + o(1))d\)。我们通过证明更强的精确界\(\mu(G)\leq(2-\frac{2}{k})(d + 1)\)回答了这个问题。证明结合了拉普拉斯瑞利向量的符号分解和独立集的加权局部卡罗 - 魏类型不等式。
英文摘要
Let $G$ be a simple graph of maximum degree $d$, and let $μ(G)$ denote the largest eigenvalue of its Laplacian matrix. For a fixed integer $k\geq 2$, Aharoni, Alon, and Berger (2016) asked whether every graph containing no induced copy of $K_{1,k}$ satisfies $μ(G)\leq (2 - \frac{2}{k} + o(1)) d$. We answer this question by proving the stronger sharp bound \[ μ(G)\leq \left(2-\frac{2}{k}\right)(d+1). \] The proof combines a sign decomposition of a Laplacian Rayleigh vector with a weighted local Caro-Wei type inequality for independent sets.
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