AI 中文总结
本文针对 A 型和 B 型一般 q - 舒尔代数的中心，给出直接 BLM - 坐标描述。对 A 型通过特定矩阵和线性系统构造中心基并与其他基比较，对 B 型用类似 A 型方法及分解法提供中心基描述，还讨论了其变体的中心。
AI 中文摘要
我们给出了 A 型和 B 型一般 q - 舒尔代数中心的直接 BLM - 坐标描述。对于 A 型的 q - 舒尔代数\({\boldsymbol{\mathcal{S}}_q(n,r)}\)，证明任何中心元素都支撑在满足特定平衡性质的某些矩阵上，其系数是由\({\boldsymbol{\mathcal{S}}_q(n,r)}\)的谢瓦莱生成元的左右乘法公式导出的显式有限线性系统的解。这给出了中心的\(\mathbb{Q}(\upsilon)\) - 基的有效行最简形构造，并与傅通过量子舒尔 - 外尔对偶性得到的中心基进行比较。对于 B 型的 q - 舒尔代数\({\boldsymbol{\mathcal{S}}^\jmath(n,r)}\)，先应用类似 A 型的方法为中心提供一个基，还通过将\({\boldsymbol{\mathcal{S}}^\jmath(n,r)}\)分解为 A 型的 q - 舒尔代数给出中心的另一种结构描述，且二者兼容。还讨论了\({\boldsymbol{\mathcal{S}}^\jmath(n,r)}\)的变体\({\boldsymbol{\mathcal{S}}^\imath(n,r)}\)的中心。
英文摘要
We give a direct BLM-coordinate description of the centers of generic $q$-Schur algebras for type $A$ and type $B$. For the $q$-Schur algebras ${\boldsymbol{\mathcal{S}}_q(n,r)}$ of type $A$, we show that any central element is supported on some matrices satisfying certain balance properties, and that its coefficients are precisely the solutions of an explicit finite linear system derived from the left and right multiplication formulas for the Chevalley generators of ${\boldsymbol{\mathcal{S}}_q(n,r)}$. This yields an effective reduced row echelon form construction of a $\mathbb{Q}(\upsilon)$-basis of the center, a basis that we then compare with the central bases obtained by Fu via quantum Schur-Weyl duality. For the $q$-Schur algebras ${\boldsymbol{\mathcal{S}}^\jmath(n,r)}$ of type $B$, we first apply a method similar to that for type $A$ to provide a basis for the center. In addition, we provide another structural description of the center by decomposing ${\boldsymbol{\mathcal{S}}^\jmath(n,r)}$ into the $q$-Schur algebras of type $A$, and these two descriptions are compatible. The center of a variant ${\boldsymbol{\mathcal{S}}^\imath(n,r)}$ of ${\boldsymbol{\mathcal{S}}^\jmath(n,r)}$ is also discussed.
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