AI 中文总结
研究Daubechies小波包对于\(p\neq2\)时是否为\(L^p(\mathbb{R})\)的Schauder基这一问题，通过结合小波包压力函数凸性等方法，在长度为四的情况下，证明了相关猜想中Schauder基不成立的部分。
AI 中文摘要
尼尔森和周（《小波包的平均大小》，《ACHA》13（2002），22 - 34）猜想，对于每个长度至少为四的Daubechies滤波器，相关的小波包对于每个\(p\neq2\)都不是\(L^p(\mathbb{R})\)的Schauder基；他们自己的\(\ell^1/\ell^\infty\)估计仅达到极端指数。我们在长度为四的情况下，对每个\(1<p<\infty\)且\(p\neq2\)，完整地证明了该猜想中关于Schauder基不成立的部分。证明结合了小波包压力函数的凸性、冯和凯纳迈基（2011）关于不可约矩阵族平衡态的唯一性以及高通转移矩阵两个周期谱增长率的精确代数分离。
英文摘要
Nielsen and Zhou (\emph{Mean size of wavelet packets}, ACHA 13 (2002), 22--34) conjectured that for every Daubechies filter of length at least four the associated wavelet packets fail to be a Schauder basis of $L^p(\mathbb{R})$ for every $p\neq2$; their own $\ell^1/\ell^\infty$ estimate only reaches extreme exponents. We prove the Schauder-basis-failure half of the conjecture in full, for every $1<p<\infty$ with $p\neq2$, in the length-four case. The proof combines convexity of the wavelet packet pressure function with the uniqueness of equilibrium states for irreducible matrix families due to Feng and Käenmäki (2011) and an exact algebraic separation of two periodic spectral growth rates of the high-pass transition matrices.
Comments8 pages
