唯一多重集和问题的最小模数
Minimum modulus for the unique multiset-sum problem
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中文总结 AI 辅助
该研究确定了唯一多重集和问题的最小有效模数，并探讨了其在矩阵永久计算中的应用。
中文摘要 AI 辅助
固定 $n \ge 2$。一个集合 $A = \{a_0 < a_1 < \dots < a_{n-1}\}$ 在 $\Z_N$ 中的 $n$ 个残差被称为模 $N$ 有效，如果所有一的多重集是唯一一个从 $A$ 中选取的大小为 $n$ 的多重集，其和为 $p:= \sum_i a_i \pmod N$。对于超递增集合 $A = \{2^k - 1: 0 \le k \le n-1\}$，我们确定了最小有效模数的确切值：$\Nmin(n) = 2^{\,n} - 2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}$ 对所有 $n \ge 2$ 都成立。证明的两个方向都是基础性的，基于二进制硬币表示的精确最小数字和估计，且整个定理已通过 Lean~4/Mathlib 对所有 $n$ 进行了机器验证（此 https URL）。我们推测没有大小为 $n$ 的残差集可以接受更小的有效模数。这种有效性条件正是使得 $n \times n$ 矩阵的永久等于行积多项式中某个系数的模 $x^N - 1$ 的条件，该系数可通过大小为 $N$ 的离散傅里叶（或数论）变换提取；该定理因此确定了最小的变换，$N \approx 2^n$，使得这种评估是精确的。该应用——以及由此产生的经典 Ryser 和 Glynn 公式和该变换的共同框架——在 companion paper [2] 中得到了发展。
英文摘要
Fix n >= 2. A set A = {a_0 < a_1 < ... < a_{n-1}} of n residues in Z_N is "valid mod N" if the all-ones multiset is the only size-n multiset drawn from A whose sum is p := sum_i a_i (mod N). For the super-increasing set A = {2^k - 1 : 0 <= k <= n-1} we determine the least valid modulus exactly: N_min(n) = 2^n - 2^floor(log_2 n) for all n >= 2. Both directions of the proof are elementary, resting on a sharp minimal-digit-sum estimate for representations by binary coins, and the full theorem has been machine-checked in Lean 4/Mathlib for all n (https://github.com/jarfo/min-modulus). We conjecture that no size-n residue set admits a smaller valid modulus. This validity condition is exactly what makes the permanent of an n x n matrix equal to a single coefficient of a row-product polynomial modulo x^N - 1, extractable by a size-N discrete Fourier (or number-theoretic) transform; the theorem thus identifies the smallest transform, N ~ 2^n, for which this evaluation is exact. That application -- and the resulting common framework for the classical formulas of Ryser and Glynn and this transform -- is developed in a companion paper (arXiv:2607.09949).
