\(\mathbb{S}^5(1)\)中具有常数量曲率和高斯 - 克罗内克曲率的闭极小超曲面
Closed Minimal Hypersurfaces in $\mathbb{S}^5(1)$ with Constant Scalar and Gauss-Kronecker Curvatures
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研究\(\mathbb{S}^5(1)\)中具有常数量曲率和常高斯 - 克罗内克曲率的闭极小超曲面，通过证明其等参性，得出\(M^4\)的几种类型及第二基本形式平方范数取值，为陈省身猜想提供支持。
中文摘要 AI 辅助
本文证明了\(\mathbb{S}^5(1)\)中任何具有常数量曲率和常高斯 - 克罗内克曲率的闭极小超曲面\(M^4\)必定是等参的。具体而言，\(M^4\)要么是赤道4 - 球面、克利福德环面\(\mathbb{S}^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\times \mathbb{S}^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)或\(\mathbb{S}^1\left(\frac{1}{2}\right)\times \mathbb{S}^3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)，要么是嘉当极小超曲面。因此，第二基本形式\(S\)的平方范数只能取0、4、12这些值。该结果为陈省身猜想提供了有力支持。
英文摘要
In this paper, we prove that any closed minimal hypersurface $M^4$ of $\mathbb{S}^5(1)$ with constant scalar curvature and constant Gauss-Kronecker curvature must be isoparametric. Specifically, $M^4$ is either an equatorial 4-sphere, a Clifford torus $\mathbb{S}^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\times \mathbb{S}^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ or $\mathbb{S}^1\left(\frac{1}{2}\right)\times \mathbb{S}^3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, or a Cartan's minimal hypersurface. Consequently, the squared norm of the second fundamental form $S$ can only take the values 0, 4, 12. This result provides strong support for Chern's Conjecture.
