AI 中文总结
从解析角度研究埃尔德什 - 法尔科纳距离猜想，开发半定德尔萨特框架，假设克洛斯特曼反集中猜想，证明了关于集合 \(E,F\subset \mathbb{F}_q^{2m}\) 的距离结论，还给出了不同阈值及相关论证，并为猜想提供证据和讨论局限性。
AI 中文摘要
设 \(q\) 为奇素数幂，\(V = \mathbb{F}_q^{2m}\) 配备 \(Q(x)=x_1^2+\cdots+x_{2m}^2\)。我们为 \(V\) 上的双集埃尔德什 - 法尔科纳距离问题开发了一个半定德尔萨特框架。该框架将自然的 \(q^m\) 尺度正比例定理简化为经典克洛斯特曼和的正凸组合的一致 \(L^1\) 反集中陈述。假设克洛斯特曼反集中猜想，我们证明对于每个 \(0 < \alpha < \frac{1}{2}\)，存在常数 \(C_{m,\alpha}\)，使得对于所有 \(E,F\subset \mathbb{F}_q^{2m}\)，\(\min\{|E|,|F| \} \ge C_{m,\alpha}q^m \quad\Longrightarrow\quad |\Delta_Q^\times(E,F)|>\alpha(q - 1)\)。更一般地，克洛斯特曼输入的 \(q^{-\theta}\) 级版本产生几何阈值 \(q^{m+\theta}\)。特别地，一个通用的二阶矩论证通过相同框架给出无条件的 \(q^{m+\frac{1}{2}}\) 阈值。证明使用二次频率壳上的半正定 \(2\times2\) 格拉姆矩阵、偶数维中的壳傅里叶变换以及产生克洛斯特曼列的一致有符号组合的极小极大分离论证。我们还为克洛斯特曼猜想提供了证据并讨论了接近完全支持的局限性。
英文摘要
Let \(q\) be an odd prime power and let \(V=\F_q^{2m}\), equipped with \(Q(x)=x_1^2+\cdots+x_{2m}^2\). We develop a semidefinite Delsarte framework for the two-set Erdős--Falconer distance problem over \(V\). The framework reduces the natural \(q^m\)-scale positive-proportion theorem to a uniform \(L^1\) anti-concentration statement for positive convex combinations of classical Kloosterman sums. Assuming this Kloosterman anti-concentration conjecture, we prove that, for every \(0<α<\frac12\), there exists a constant \(C_{m,α}\) such that \[ \min\{|E|,|F|\}\ge C_{m,α}q^m \quad\Longrightarrow\quad |Δ_Q^\times(E,F)|>α(q-1) \] for all \(E,F\subset\F_q^{2m}\). More generally, a \(q^{-θ}\)-level version of the Kloosterman input yields the geometric threshold \(q^{m+θ}\). Unconditionally, we establish a uniform \(q^{-\frac13}\)-level \(L^1\) lower bound whenever the support has size at most \(α(q-1)\), with \(0<α<\frac12\). Consequently, \[ \min\{|E|,|F|\}\ge C_{m,α}q^{m+\frac13} \quad\Longrightarrow\quad |Δ_Q^\times(E,F)|>α(q-1). \] The proof uses positive semidefinite \(2\times2\) Gram matrices on quadratic frequency shells, the shell Fourier transform in even dimension, and a minimax separation argument that produces a uniform signed combination of Kloosterman columns. We also provide evidence for the constant-scale Kloosterman conjecture and discuss its limitations near full support.
