发表机构
National Yang Ming Chiao Tung University; University of Duisburg-Essen（国立阳明交通大学; 杜伊斯堡-埃森大学）
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研究规定高斯曲率方程相关反边界问题，通过比较非线性狄氏-诺伊曼映射及曲率边界射流，利用非线性结构克服规范阻碍，证明曲率在整个区域一致。
AI 中文摘要
我们证明了与平面区域上图形的规定高斯曲率方程\(\det D^2u = K(x)(1 + |\nabla u|^2)^2\)相关的反边界问题的唯一性结果。在一类共同的光滑边界值上进行比较，对于这类边界值，两个允许的狄氏问题都是适定的。我们表明，如果相应的非线性狄氏-诺伊曼映射在这类边界值上一致，且两个规定曲率具有相同的第一边界射流，那么曲率在整个区域内一致。主要困难来自于第一次线性化时就存在的规范阻碍。以对数形式，线性化方程是一个具有漂移的二维非散度形式椭圆方程。其边界数据仅在边界固定的变量变换和标量规范因子下确定系数。对于规定高斯曲率方程，这种规范不是方法的人为产物：梯度依赖性留下了一个残余规范，不能通过第一次变分消除。证明使用非线性结构来消除这个剩余规范。我们在第一次线性化规范中导出了一个二次线性化相互作用恒等式。在这个恒等式中，规范映射的协变黑塞矩阵出现在主导部分。用两个互补的CGO族检验这个恒等式，得到一组关于规范变量的残余方程。结合第一次线性化的漂移和电导率恒等式，这些方程形成了一个关于残余规范的封闭系统。对这个系统的边界唯一延拓论证给出了平凡规范，从而确定了规定曲率。
英文摘要
We prove uniqueness for an inverse boundary problem for the prescribed Gaussian curvature equation $\det D^2u=K(x)(1+|\nabla u|^2)^2$ on a smooth bounded simply connected planar domain. We compare smooth positive curvatures on a common open class of Dirichlet values for which the convex problems are well posed. Equality of the nonlinear Dirichlet-to-Neumann maps, together with the prescribed first boundary jet of the curvature, implies equality of the curvatures throughout the domain. The first linearized equation has conductivity $Σ=K(D^2u)^{-1}$. The planar anisotropic conductivity theorem determines this tensor up to a boundary fixing diffeomorphism. We prove that the Hessian and gradient structure forces this diffeomorphism to be the identity. The difference between the pulled-back background gradient and the original gradient satisfies a local elliptic system whose components have the same scalar principal part and zero boundary Cauchy data. A first-order Carleman estimate gives unique continuation for this system. The argument uses the nonlinear boundary response at one admissible Dirichlet value and its first derivative there.
Comments18 pages. We found a novel argument to replace the earlier version
