Quasipolynomial Trace Reconstruction
Arnav Burudgunte, Paul Valiant, Hongao Wang
研究n位字符串的轨迹重建，核心方法是使用拟多项式数量的轨迹，主要贡献是对至少为n的逆多项对数的保留概率p实现轨迹重建。
我们证明，对于任何至少为n的逆多项对数的保留概率p，使用拟多项式数量的轨迹对n位字符串进行轨迹重建是可行的。
We show that trace reconstruction on n-bit strings is possible using a quasipolynomial number of traces, for any retention probability p that is at least inverse polylogarithmic in n.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Coded trace reconstruction in a constant number of traces
编码的轨迹重构问题要求构造代码$C\subset \{0,1\}^n$，使得任何$x\in C$可从来自二进制删除信道（BDC）的$x$的独立输出（“轨迹”）恢复。我们提出了二进制代码的速率$1-\varepsilon$，可有效地恢复从${\exp(O_q(\log^{1/3}(\frac{1}{\varepsilon})))}$（一个常数独立的$n$）的痕迹的$\operatorname{BDC}_q$为任何恒定的删除概率$q\in(0,1)$。我们还表明，率$1-\varepsilon$二进制码，$\tilde Ω(\log^{5/2}(1/\varepsilon))$的痕迹是必需的。结果如下从一对黑盒减少，表明平均情况下的跟踪重建基本上是等同于编码的跟踪重建。我们还表明，存在的代码率$1-\varepsilon$的$O_{\varepsilon}(1)$大小的字母表，可从$O(\log(1/\varepsilon))$痕迹，这是紧。
Trace Reconstruction: Generalized and Parameterized
在优美的简单状态问题的轨迹重建，目标是重建一个未知的二进制字符串$x$给定随机“轨迹”的$x$，其中每个轨迹是通过删除每个坐标的$x$独立的概率$p<1$。当未知字符串是任意的，当它是均匀随机选择时，这个问题得到了很好的研究。对于这两种设置，在样本复杂度上限和下限之间仍然存在指数差距，我们对问题的理解仍然非常有限。在本文中，我们考虑自然参数化和推广这个问题，努力达到更深入，更全面的理解。我们证明了$\exp(O(n^{1/4} \sqrt{\log n}))$迹足以重构任意矩阵。在问题的矩阵版本中，未知$\sqrt{n}\times \sqrt{n}$矩阵的每一行和每一列都以概率$p$被独立删除。我们的研究结果与序列重建的最佳已知结果形成对比，其中最佳已知的上限是$\exp(O(n^{1/3}))$。随机矩阵重构的一个最佳结果：我们证明了$Θ(\log n)$迹是必要和充分的。这与随机序列的问题相反，其中存在超对数下限，并且最已知的上限是$\exp({O}(\log^{1/3} n))$。我们表明，$\exp(O(k^{1/3}\log^{2/3} n))$痕迹足以重建$k$稀疏字符串，提供了一个最好的已知序列重建结果时，$k = o(n/\log^2 n)$的改进。我们表明，$\textrm{poly}(n)$迹线足够，如果$x$是$k$ -稀疏的，我们另外有一个“分离”的承诺，…
A Generalized Trace Reconstruction Problem: Recovering a String of Probabilities
本文提出概率串的广义迹重建模型，证明最坏情况下需指数级迹数，并给出随机概率串在低删除概率下的多项式时间与样本重建算法。
Average-case reconstruction for the deletion channel: subpolynomially many traces suffice
删除通道将位串$\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$作为输入，并且以概率$q$独立地删除每个位，从而产生较短的串。轨迹重建问题是从应用于$\mathbf{x}$的删除通道的许多独立输出（称为“轨迹”）中恢复未知字符串$\mathbf{x}$。我们表明，如果$\mathbf{x}$是均匀随机和$q < 1/2$，然后$e^{O(\log^{1/2} n)}$痕迹足以重建$\mathbf{x}$具有高概率。Holenstein-Mitzenmacher-Panigrahy-Wieder在2008年建立的先前最佳界限使用$n^{O(1)}$迹线，并且仅适用于小于较小阈值的$q$（似乎需要$q < 0.07$）。我们的算法结合了几个想法：1）一个对齐方案的“greenstick”拟合删除通道的输出作为输入的子序列; 2）一个版本的“锚定”的想法使用的Holenstein-Mitzenmacher-Panigrahy-Wieder;和3）复杂的分析技术，从最近的工作Nazarov-Peres和De-O 'Donnell-Servedio。
Approximate Trace Reconstruction
在通常的轨迹重构问题中，目标是在长度为$n$的未知串独立地通过删除通道多次之后精确地重构该未知串，从而产生一组轨迹（即，字符串的随机序列）。我们考虑松弛的近似重建问题。这里，目标是输出一个在编辑距离上接近原始字符串的字符串，同时使用比精确重建所需的少得多的迹线。我们提出了几种算法，可以近似重建属于某些类的字符串，其中估计是在$n/\mathrm{polylog}(n)$编辑距离内，我们只使用$\mathrm{polylog}(n)$痕迹（或有时只是一个单一的痕迹）。这些类包含的字符串需要线性数量的轨迹来精确重建，并且与典型的随机字符串完全不同。从技术的角度来看，我们的算法近似重建连续的子串的未知字符串对齐密集区域的痕迹，并使用一个合适的长度来近似每个区域。为了补充我们的算法，我们提出了一个一般的黑盒下界近似重建，建立在一个下界区分两个候选输入字符串在最坏的情况下。特别是，这表明在最坏情况下，接近$n^{1/3 - δ}$编辑距离内需要$0< δ< 1/3$的$n^{1 + 3δ/2}/\mathrm{polylog}(n)$迹线。
Subpolynomial trace reconstruction for random strings and arbitrary deletion probability
插入-删除通道将比特串${\bf x}\in\{0,1\}^{n}$作为输入，并且输出其中比特已经被随机地独立地删除和插入的串。轨迹重建问题是从应用于$\bf x$的插入-删除通道的许多独立输出（称为“轨迹”）恢复$\bf x$。我们表明，如果$\bf x$随机均匀选择，那么$\exp(O(\log^{1/3} n))$迹线足以以高概率重建$\bf x$。对于具有删除概率$q < 1/2$的删除通道，较早的上界是$\exp(O(\log^{1/2} n))$。之前未分析过$q\geq 1/2$的情况或允许插入的情况，因此早期的上界与最差情况字符串相同，即，$\exp(O( n^{1/3}))$。我们还表明，我们的重建算法运行在$n^{1+o(1)}$时间。在我们的证明中的一个关键成分是一个微妙的两步对齐过程，我们估计在每个轨迹对应于一个给定的位$\bf x$的位置。通过将字符串视为随机游动并分别比较与输入字符串和轨迹相关联的游动中的增量来完成对齐。
Approximate Trace Reconstruction from a Single Trace
公知的迹重建问题是从独立的“迹”推断未知源串$x \in \{0,1\}^n$的问题，所述独立的“迹”即已经被$δ$删除信道破坏的$x$的副本，所述$δ$删除信道以概率$δ$独立地删除$x$的每个比特并且连接幸存的比特。目前的文件认为，极端的数据有限的制度，其中只有一个单一的跟踪提供给重建算法。在这种情况下，精确的重建当然是不可能的，问题是源字符串$x$可以近似重建到什么精度。我们给出了一个详细的研究这个问题，提供算法和下限的高，中，低删除率制度在最坏的情况下（$x$是任意的）和平均情况下（$x$是均匀绘制从$\{0,1\}^n$）模型。在几种情况下，我们建立的下限是由我们提供的计算效率高的算法相匹配。我们强调我们的高删除率制度的结果：粗略地说，他们表明，-有机会获得一个单一的跟踪已经是非常有用的最坏情况下的跟踪重建：一个有效的算法可以执行更准确的重建，给定一个跟踪，甚至只有几个比特长，比它可以没有痕迹。但与此相反，在一般情况下，可以证明访问单个跟踪不是很有用：没有算法，计算效率或其他方面，可以实现显着更高的准确性，给定一个跟踪是$o(n)$位长比它可以没有跟踪。
Average-Case to (shifted) Worst-Case Reduction for the Trace Reconstruction Problem
{ \em插入-删除通道}将二进制串$x \in\{0, 1\}^n$作为输入，并输出其中一些位已被删除而其他位被随机独立插入的串$\widetilde{x}$。在{ \em轨迹重构问题}中，在同一输入消息$x$上给出插入-删除通道的许多输出（称为{ \em轨迹}），并要求恢复输入消息。Nazarov和Peres（STOC 2017）以及De，O 'Donnell和Servedio（STOC 2017）表明，任何字符串$x$都可以从$\exp(O(n^{1/3}))$轨迹中重建。Holden、Pemantle、Peres和Zhai（COLT 2018）将用于证明该上限的技术应用于样本复杂度为$\exp(O(\log^{1/3} n))$的平均情况轨迹重建算法。然而，目前尚不清楚如何更普遍地应用他们的技术，特别是Chase（STOC 2021）针对删除通道显示的最近最差情况的$\exp(\widetilde{O}(n^{1/5}))$上限。我们证明了一个一般的减少，从平均情况下，以较小的情况下，类似的最坏情况下的问题。利用这种减少和推广的大通的界限，我们构造了一个改进的平均情况下的算法与样本复杂度为$\exp(\widetilde{O}(\log^{1/5} n))$。此外，我们表明，大通的上限持有的插入-删除通道以及。
Circular Trace Reconstruction
轨迹重构是从$x$的独立轨迹中学习未知串$x$的问题，其中轨迹是通过以一定删除概率$q$独立删除$x$的每个比特来生成的。在本文中，我们开始研究的圆形轨迹重建，其中未知字符串$x$是圆形的，轨迹现在旋转的随机循环移位。迹线重建与许多研究DNA的计算生物学问题有关，这也是这个问题的主要动机，因为已知许多类型的DNA是圆形的。我们的主要结果如下。首先，我们证明了，我们可以重建任意长度$n$循环串使用$\exp\big(\tilde{O}(n^{1/3})\big)$迹为任何常数删除概率$q$，只要$n$是素数或两个素数的乘积。对于这种形式的$n$，这几乎与本文最初发布时$\exp\big(O(n^{1/3})\big)$用于标准跟踪重构的最佳已知界限相匹配。然而，我们注意到Chase最近改进了绑定到$\exp\big(\tilde{O}(n^{1/5})\big)$的标准迹线重建。接下来，我们证明了，我们可以重建随机循环字符串与高概率使用$n^{O(1)}$迹为任何常数删除概率$q$。最后，我们证明了一个下界的$\tildeΩ(n^3)$迹任意圆字符串，这是大于最好的已知下界的$\tildeΩ(n^{3/2})$在标准的跟踪重建。
The trace reconstruction problem for spider graphs
研究了蜘蛛图的迹重构问题。设$n$为蜘蛛的节点数，$d$为每条腿的长度，并假设我们从删除通道中得到蜘蛛的独立轨迹，在该删除通道中，每个非根结点以概率$q$被删除。这是理论计算机科学中弦迹重建问题的自然推广，对应于蜘蛛有一条腿的特殊情况。在$d\ge \log_{1/q}(n)$的区域中，问题可以简化为普通字符串迹重构问题。因此，我们研究了更有趣的制度$d\le \log_{1/q}(n)$，其中整个腿的蜘蛛删除不可忽略的概率。我们描述了一种算法，重建蜘蛛与高概率使用$\exp\left(\mathcal{O}\left(\frac{(nq^d)^{1/3}}{d^{1/3}}(\log n)^{2/3}\right)\right)$痕迹。我们的算法适用于所有删除概率$q\in(0,1)$。
Near-Optimal Trace Reconstruction for Mildly Separated Strings
针对迹重构问题中常数删除概率下多项式数量迹求解的开放问题，提出当字符串为轻度分离（任意两1间0数≥polylog$n$）且$δ$足够小时，可用$O(n\text{log}n)$个迹在多项式时间内解决。
Near-Optimal Average-Case Approximate Trace Reconstruction from Few Traces
在标准轨迹重建问题中，目标是\emph{exactly}从独立的“轨迹”重建未知的源字符串$\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$，这些轨迹是已被$δ$损坏的$\mathsf{x}$的副本-删除通道，该通道以概率$δ$独立删除$\mathsf{x}$的每个比特，并连接幸存的比特。我们研究了\emph{approximate}轨迹重建问题，其目标只是获得$\mathsf{x}$的高精度近似，而不是精确的重建。我们给出了一个有效的算法，和近匹配的下限，近似重建的随机源串$\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$从几个痕迹。我们的主要算法结果是一个多项式时间算法具有以下性质：对于任何删除率$0 < δ< 1$（这可能取决于$n$），几乎每个源字符串$\mathsf{x} \in \{0,1\}^n$，给定任何数量的$M \leq Θ(1/δ)$的痕迹从$\mathrm{Del}_δ(\mathsf{x})$，该算法构建一个假设字符串$\widehat{\mathsf{x}}$，具有编辑距离最多$n \cdot (δM)^{Ω(M)}$从$\mathsf{x}$。我们还证明了一个接近匹配的信息理论的下限显示，给定$M \leq Θ(1/δ)$跟踪从$\mathrm{Del}_δ(\mathsf{x})$的随机$n$位串$\mathsf{x}$，最小可能的预期编辑距离，…
Substring Density Estimation from Traces
在轨迹重构问题中，人们试图从轨迹的集合中重构二进制串$s$，每个轨迹是通过将$s$传递通过删除通道而获得的。已知$\exp(\tilde O(n^{1/5}))$迹线足以以高概率重构任何长度- $n$串。我们考虑一个变种的跟踪重建问题，其目标是恢复一个“密度图”，表明整个$s$的每个长度$k$子串的位置。我们表明，$ε^{-2}\cdot \text{poly}(n)$痕迹足以恢复的密度图与错误最多$ε$。结果，当被限制到其最小“密度图距离”至少为$1/\text{poly}(n)$的一组源串时，可以用多项式多个迹线来解决迹线重构问题。
Polynomial-time trace reconstruction in the low deletion rate regime
在\emph{trace reconstruction problem}中，通过概率\emph{deletion channel}发送未知源串$x \in \{0,1\}^n$，概率\emph{deletion channel}以某个固定概率$δ$独立地删除每个比特，并连接幸存的比特，导致$x$的\emph{trace}。问题是重建$x$访问独立的痕迹。任意（最坏情况）字符串的轨迹重建是一个具有挑战性的问题，当前最先进的多$(n)$ -时间算法是Batu等人\cite{BKKM04}的2004年算法。只要删除率$δ$对某些$\varepsilon > 0$满足$δ\leq n^{-(1/2 + \varepsilon)}$，该算法可以在polyPDMATHABMS时间内重建任意源串$x \in \{0,1\}^n$.本文改进了\cite{BKKM04}的结果，给出了一个任意删除率$δ\leq n^{-(1/3 + \varepsilon)}$的多$(n)$ -时间轨迹重建算法。我们的算法的工作原理是通过交替的基于重复的程序，我们有效地重建部分的源字符串是不是“高度重复”，与一个新的程序，有效地确定高度重复的子字的源字符串的长度。
Approximate Trace Reconstruction via Median String (in Average-Case)
我们考虑一个\emph{approximate}版本的跟踪重建问题，其中的目标是恢复一个未知的字符串$s\in\{0,1\}^n$从$m$轨迹（每个轨迹是独立产生的概率插入-删除通道通过传递$s$率$p$）。我们提出了一个确定性的平均情况下的模型，$s$是随机的，只使用\emph{three}痕迹的近线性时间算法。它在接近线性的时间$\tilde O(n)$中运行，并以高概率报告$ε=\tilde O(p)$的$s$与$O(εp n)$之间的编辑距离内的字符串，这大大提高了$O(pn)$的直接边界。从技术上讲，我们的算法计算三个输入轨迹的$(1+ε)$近似中值。为了证明其正确性，我们的概率分析表明，近似的中位数确实接近未知的$s$。为了实现接近线性的时间界限，我们必须绕过众所周知的动态规划算法，该算法计算时间上的最佳中值$O(n^3)$。
Tree trace reconstruction using subtraces
树迹重构的目的是学习树的二进制节点标签，给定树的独立样本通过适当定义的删除通道。在最近的工作中，Davies、Rácz和Rashtchian使用组合方法证明了$\exp(\mathcal{O}(k \log_{k} n))$样本足以重建一个完整的$k$ -ary树，其中$n$节点具有高概率。我们提供了另一种证明这一结果，这使我们能够推广到更广泛的一类树拓扑结构和删除模型。在我们的证明中，我们引入了一个subtrace的概念，这使我们能够连接和推广最近的平均为基础的复杂的分析算法的字符串轨迹重建。
Trace reconstruction from local statistical queries
本文研究痕迹重建问题中局部统计查询算法的能力与局限，分别针对最坏情况和平均情况建立了几乎匹配的上下界，揭示了局部性、容差与可重建性之间的本质权衡。
The Quasi-probability Method and Applications for Trace Reconstruction
本文提出一种基于量子误差缓解中拟概率方法的经典蒙特卡洛 k-mer 估计算法，解决了高删除概率下及插入、删除、位翻转信道组合的迹重构问题，使 Chase 算法能直接应用于更广泛的信道。
New Bounds for Circular Trace Reconstruction
研究提出圆迹重建问题的新下界，并展示通过傅里叶技术可高效重建稀疏字符串，揭示了对非常数稀疏字符串的算法需求。
Optimal mean-based algorithms for trace reconstruction
在（删除通道）轨迹重构问题中，存在未知的$n$位源串$x$。一种算法被赋予访问$x$的独立迹的权限，其中通过以概率~ $δ$独立地删除~ $x$的每个比特来形成迹。该算法的目标是准确地恢复~ $x$（具有高概率），同时最小化样本（跟踪数）和运行时间。以前，最著名的轨迹重建问题的算法是由Holenstein等人提出的。它使用任何固定$0 < δ< 1$的$\exp(\tilde{O}(n^{1/2}))$样本和运行时间。它也是我们所说的“基于均值的算法”，这意味着它只使用迹线的单个位的经验均值。霍伦斯坦~等人。~也给出了一个下界，表明任何基于均值的算法必须至少使用$n^{\tildeΩ(\log n)}$样本。在本文中，我们改进了这两个结果，获得匹配的上界和下界的均值为基础的跟踪重建。对于任何恒定的删除率$0 < δ< 1$，我们给出了一个基于均值的算法，使用$\exp(O(n^{1/3}))$时间和痕迹，我们还证明了任何基于均值的算法必须使用至少$\exp(Ω(n^{1/3}))$痕迹。事实上，我们甚至得到了$δ$子常数和$ρ:= 1-δ$子常数的匹配上界和下界：当$(\log^3 n)/n \ll δ\leq 1/2$时，界是$\exp(-Θ(δn)^{1/3})$，当$1/\sqrt{n} \ll ρ\leq 1/2$时，界是$\exp(-Θ(n/ρ)^{1/3})$。我们的证…
Reconstructing Trees from Traces
我们研究的问题，学习一个节点标记的树从一个适当定义的删除通道的独立的痕迹。这个问题，树迹重建，推广字符串迹重建，对应于树是一个路径。对于许多类的树，包括完整的树和蜘蛛，我们提供的算法，重建的标签只使用一个多项式数量的痕迹。这与已知的弦迹重建结果形成鲜明对比，弦迹重建需要指数级的多个迹线，并且其中一个中心开放问题是确定多项式数目的迹线是否足够。我们的技术结合了新颖的组合和复杂的分析方法。
An Instance-Based Approach to the Trace Reconstruction Problem
该研究提出迹重构问题的基于实例研究框架，定义莱文斯坦难度刻画实例难度，推导其下界并证明大类字符串下迹数量需随长度指数增长，还为交替长游程二元字符串设计了匹配该难度缩放的重构算法。
Polynomial-time trace reconstruction in the smoothed complexity model
在\emph{trace reconstruction problem}中，通过概率\emph{deletion channel}发送未知源串$x \in \{0,1\}^n$，概率\emph{deletion channel}以概率$δ$独立地删除每个比特，并连接幸存的比特，产生$x$的\emph{trace}。问题是重建$x$给定独立的痕迹。近年来，在$x$可能是$\{0,1\}^n$ \cite{DOS17,NazarovPeres17,HHP18,HL18,Chase19}中的任意字符串的最坏情况设置和从$\{0,1\}^n$ \cite{PeresZhai17,HPP18,HL18,Chase19}均匀随机抽取$x$的平均情况设置中，这个问题都受到了广泛关注。本文研究了在\emph{smoothed analysis}环境下的迹重构问题，即从$\{0,1\}^n$中任意选取一个“最坏情况”的字符串$x^{\worst}$，然后用概率为$σ$的均匀随机位独立地替换每个坐标，形成$x^{\worst}$的扰动版本$\bx$.我们的主要结果是一个算法，该算法对任意常数扰动率$0<σ< 1$和任意常数删除率$0 < δ< 1$，使用$\poly(n)$的运行时间和迹，并成功地以高概率重建串$\bx$。这与问题的最坏情况版本形成对比，对于最坏情况版本，$\text{exp}(O(n…
Graph Reconstruction from Noisy Random Subgraphs
该研究探讨从含噪随机子图重建无向图的问题，分析了两种噪声模型下随机图的高概率重建所需迹的数量下界，并证明任意图重建需指数级数量的迹。
Beyond trace reconstruction: Population recovery from the deletion channel
\emph{Population recovery}是学习未知的$n$位串集合上的未知分布的问题，给定对来自分布的独立抽取的访问，所述独立抽取已经根据一些噪声信道被独立地破坏。最近的工作已经深入研究了这些问题的位翻转和擦除噪声信道。我们在\emph{deletion channel}下开始研究人口恢复，其中每个比特都是独立的\emph{deleted}与一些固定的概率和幸存的比特连接和传输。这是比比特翻转噪声或擦除噪声更具挑战性的噪声模型;实际上，即使是种群大小为1（对应于单个字符串上支持的平凡分布）的最简单的情况也对应于\emph{trace reconstruction}问题，这是一个最近受到广泛关注的具有挑战性的问题（参见例如\cite{DOS17,NP17,PZ17,HPP18,HHP18}）。给出了在删除信道下，当种群规模为某个$\ell>1$时种群恢复的算法和下界。作为我们的主要样本的复杂性上限，我们表明，对于任何$\ell=o(\log n/\log \log n)$，人口的$\ell$字符串从$\{0,1\}^n$可以学习删除信道噪声下使用$\smash{2^{n^{1/2+o(1)}}}$样本。在下限侧，我们表明，$n^{Ω(\ell)}$样本需要进行人口恢复删除通道下，所有$\ell \leq n^{1/2-ε}$。我们的上界是通过一个强大的多元推广的多项式为基…
Reconstructing Arbitrary Trees from Traces in the Tree Edit Distance Model
在本文中，我们考虑的问题，重建树的痕迹在树编辑距离模型。Davies等人（2019）的先前工作分析了重建标记树的特殊情况。在这项工作中，我们显着扩大我们对这个问题的理解，在任意树的情况下，给出一般的结果。即，我们给出：当树拓扑已知时，从树迹重建问题到更经典的字符串重建问题的简化，学习任意树拓扑的下界，以及使用Nazarov和Peres（2017）的技术学习任何树的拓扑的通用算法。最后，我们讨论了为什么任意树需要指数许多样本下左传播模型。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。