通过维度的和积现象
Sum-product Phenomenon Via Dimension
AI总结：
研究配备抽象维度理论的域中的和积现象，推广几何理论及Hrushovski粗伪有限维度。证明利用Ruzsa三角不等式和Plünnecke-Ruzsa不等式的维度类似物，得出正非零维型可定义集的相关结论。
摘要：
我们展示了配备抽象维度理论的域中的和积现象，它同时推广了几何理论中的维度和Hrushovski的粗伪有限维度。更准确地说，我们表明对于正非零维度的型可定义集，和集与积集在维度上的非扩张意味着在相同维度上存在一个可定义域。证明的主要成分包括Ruzsa三角不等式和Plünnecke-Ruzsa不等式的维度类似物。
英文摘要：
We show a sum-product phenomenon in fields equipped with abstract dimension theories, which simultaneously generalizes the dimensions in geometric theories and Hrushovski's coarse pseudo-finite dimensions. More precisely, we show that for type-definable sets of positive non-zero dimension, non-expansion in dimension of both the sumset and product set implies the existence of a definable field in the same dimension. Main ingredients of the proof include dimensional analogues of the Ruzsa triangle inequality and the Plünnecke-Ruzsa inequality.
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