从火腿三明治到中心点：切割多面体测度的半代数算法
From Ham-Sandwich to Centerpoints: Semialgebraic Algorithms for Cutting Polytopal Measures
AI总结：
针对多面体测度，设计精确算法解决火腿三明治定理和中心点定理中的切割问题，通过将半空间的帽体积函数表示为分段有理函数，将指定比例切割问题转化为半代数可行性问题，并在固定维度下实现多项式时间算法。
摘要：
我们为多面体测度的火腿三明治定理和中心点定理设计了精确算法。我们的关键观察是，这种测度的帽体积函数（即被半空间切掉的体积）在定向超平面空间的一个自然分解上是分段有理的。这使我们能够将指定比例的切割问题重新表述为半代数可行性问题。对于固定环境维度，这产生了多项式时间算法来判断切割的存在性、描述完整解集以及采样或枚举解。我们将这一框架扩展到中心横截定理，证明了深层仿射平坦空间是半代数的，这对中心点成立。我们进一步证明了凸多面体的中心点集与其在水平$1/(d+1)$处的浮动体一致，这是一个有用的半代数描述。
英文摘要：
We design exact algorithms for the ham-sandwich and centerpoint theorems for polytopal measures. Our key observation is that the cap-volume function of such a measure, i.e., the volume cut off by a halfspace, is piecewise rational on a natural decomposition of the space of oriented hyperplanes. This lets us recast prescribed-proportion cutting problems as semialgebraic feasibility problems. For fixed ambient dimension, this yields polynomial-time algorithms to decide the existence of cuts, describe the full solution set, and sample or enumerate solutions. We extend this framework to the center transversal theorem, showing that spaces of deep affine flats are semialgebraic, which holds for centerpoints. We further show that the set of centerpoints of a convex polytope coincides with its floating body at level $1/(d+1)$, a useful semialgebraic description.
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