Ballantine, Beck, Merca 和 Sagan 关于初等对称划分的猜想 19 的证明
Proof of Conjecture 19 of Ballantine, Beck, Merca, and Sagan on Elementary Symmetric Partitions
AI总结：
本文证明了Ballantine等人关于整数划分上pre_k映射像与OEIS序列关联的猜想19，无条件证明了(i)(iii)部分，在单射假设下证明(iv)并证明等价性，部分证明(ii)并归约为Hickerson猜想，同时修正了(iii)中的符号错误。
摘要：
Ballantine, Beck, Merca 和 Sagan (arXiv:2409.11268) 提出了四个恒等式，统称为猜想 19，这些恒等式将整数划分上的映射 pre_k 的像与四个 OEIS 序列联系起来。我们无条件证明了 (i) 和 (iii) 部分，在假设 pre_2 在 n 的划分上是单射（同一篇论文的猜想 1）的条件下证明了 (iv) 部分，并证明了这个假设实际上与 (iv) 等价；对于 (ii) 部分，我们无条件证明了划分论的一半，并将剩余内容归约为 Dean Hickerson 在 2006 年关于 OEIS 中 Huffman 编码的一个猜想。我们还纠正了 (iii) 部分已发表陈述中的一个符号错误：正确的恒等式是 chi(ImP_3(n)) = A213213(n) - 1，而不是所述的 1 + A213213(n)。
英文摘要：
Ballantine, Beck, Merca, and Sagan conjectured four identities, collectively Conjecture 19, relating the image of the map pre_k on integer partitions to four OEIS sequences. We prove parts (i) and (iii) unconditionally, prove part (iv) unconditionally using the injectivity of pre_2 on partitions of n (Conjecture 1 of the same paper, proved by Li in arXiv:2508.00971), and show that this injectivity is in fact equivalent to part (iv). For part (ii) we prove the partition-theoretic half unconditionally and reduce the remaining content to a 2006 conjecture of Dean Hickerson on the OEIS concerning Huffman coding. We also correct a sign error in the published statement of part (iii): the correct identity is chi(ImP_3(n)) = A213213(n) - 1, not 1 + A213213(n) as stated.
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