将有限函数嵌入交换环上的低次多项式函数
Embedding Finite Functions into Low-Degree Polynomial Functions over Commutative Rings
AI总结：
研究有限集上的函数嵌入交换环上低次多项式的问题，证明了所有一元函数可嵌入一次多项式，二元Kronecker delta可嵌入四次多项式，且存在任意次多项式无法嵌入的二元函数。
摘要：
有限集 $X$ 上的函数 $f \colon X^k \to X$ 可嵌入交换环 $R$ 上的总次数为 $d$ 的多项式，如果存在单射 $j \colon X \to R$ 和一个总次数至多为 $d$ 的多项式 $g$，使得 $j \circ f = g \circ j^k$，其中 $j^k$ 在每个坐标上应用 $j$。这些是 $k$ 邻域元胞自动机的转移函数，而单射 $j$ 是保持转移的字母表扩张。我们证明了三个结果，均在 Lean~4 和 Mathlib~\cite{bacik2026finbin} 中验证。每个一元函数 $f \colon X \to X$ 可嵌入总次数为 $1$ 的多项式。每个二元 Kronecker delta 可嵌入总次数为 $4$ 的多项式。对于每个 $d$，存在一个二元函数无法嵌入任何总次数为 $d$ 的多项式。
英文摘要：
A function $f \colon X^k \to X$ on a finite set embeds into a polynomial of total degree $d$ over a commutative ring $R$ if there is an injection $j \colon X \to R$ and a polynomial $g$ of total degree at most $d$ with $j \circ f = g \circ j^k$, where $j^k$ applies $j$ in each coordinate. These are the transition functions of $k$-neighbour cellular automata, and the injection $j$ is an enlargement of the alphabet that preserves the transitions. We prove three results, all verified in Lean~4 with Mathlib~\cite{bacik2026finbin}. Every unary function $f \colon X \to X$ embeds into a polynomial of total degree $1$. Every binary Kronecker delta embeds into a polynomial of total degree $4$. For every $d$ there is a binary function that does not embed into any polynomial of total degree $d$.
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