驯服集上的有效拟解析Remez不等式
Effective quasianalytic Remez inequalities on tame sets
AI总结：
针对拟解析Denjoy-Carleman类函数，在具有驯服几何的大类胖紧集上建立了Remez不等式，推广了经典多项式Remez不等式，并导出了子水平集体积估计、L^p范数比较、Lojasiewicz、Harnack和Markov型不等式等定量结果。
AI中文摘要：
我们在一大类具有驯服几何的胖紧集 $K \subseteq \mathbb R^n$ 上，为拟解析Denjoy-Carleman类 $\mathcal C_M$ 中的函数建立了Remez不等式，这些紧集包括所有由受限 $\mathcal C_M$ 函数在 $\mathbb R$ 的o-极小扩张中可定义的胖紧集。该不等式推广了经典的多项式Remez不等式及其在凸体上的拟解析版本，将多项式次数替换为Bang次数，这是一个与权重 $M$ 和函数大小相关的整数。常数显式依赖于Bang次数和 $K$ 的几何。我们推导了一系列定量结果：子水平集体积的估计、$L^p$ 范数的比较、具有显式常数的Lojasiewicz、Harnack和Markov型有效不等式，以及振荡积分的衰减估计。
英文摘要：
We establish a Remez inequality for functions in quasianalytic Denjoy-Carleman classes $\mathcal C_M$ on a large family of fat compact sets $K \subseteq \mathbb R^n$ with tame geometry, including all fat compact sets definable in the o-minimal expansion of $\mathbb R$ by restricted $\mathcal C_M$ functions. The inequality generalizes the classical Remez inequality for polynomials and its quasianalytic versions on convex bodies, replacing the polynomial degree by the Bang degree, an integer associated with the weight $M$ and the size of the function. The constants depend explicitly on the Bang degree and the geometry of $K$. We derive a range of quantitative consequences: estimates for the volume of sublevel sets, comparison of $L^p$-norms, effective inequalities of Lojasiewicz, Harnack, and Markov type with explicit constants, and decay estimates for oscillatory integrals.
