具有线性增长深度陷阱的 $\mathbb Z_+$ 上的有偏随机游走
Biased Random Walk on $\mathbb Z_+$ with Traps of Linearly Increasing Depth
AI总结：
研究确定性无限根树 $\mathcal{T}$ 上的 $\lambda$-有偏随机游走，通过分析陷阱效应导致的长时间逗留，揭示了游走在不同参数下的常返/瞬变行为以及亚弹道增长和切割点/切割时间的空间-时间对比。
摘要：
我们研究确定性无限根树 $\mathcal{T}=\{(i,j): i\ge0,\,0\le j\le i\}$ 上的 $\lambda$-有偏随机游走 $(X_n)_{n\ge0}$，其主干为 $\{(i,0):i\ge0\}$，且对每个 $i\ge1$，线段 $\{(i,j):1\le j\le i\}$ 构成附着于 $(i,0)$ 的陷阱。陷阱效应导致长时间逗留，使得渐近行为与简单随机游走显著不同。游走在 $\lambda\ge1$ 时是常返的，在 $0<\lambda<1$ 时是瞬变的。在瞬变状态下，它是亚弹道的：其距根的距离对数增长，且几乎必然有 \[ \liminf_{n\to\infty}\frac{|X_n|}{\log n}=\frac{1}{\log(1/\lambda)},\quad \limsup_{n\to\infty}\frac{|X_n|}{\log n}=\frac{2}{\log(1/\lambda)}. \] 空间与时间再生之间出现对比。设 $C(n)$ 为前 $n$ 个主干顶点中的切割点数，$M(N)$ 为到时间 $N$ 为止的切割次数。则几乎必然有 \[ \lim_{n\to\infty}\frac{C(n)}{n}= 1-\lambda,\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{M(N)}{\log N}=\frac{1-\lambda}{\log(1/\lambda)}, \] 因此切割点具有正线性密度，而切割时间仅对数增长。
英文摘要：
We study a $λ$-biased random walk $(X_n)_{n\ge0}$ on the deterministic infinite rooted tree $\mathcal{T}=\{(i,j): i\ge0,\,0\le j\le i\}$, whose backbone is $\{(i,0):i\ge0\}$ and, for each $i\ge1$, the segment $\{(i,j):1\le j\le i\}$ forms a trap attached to $(i,0)$. The trapping effect induces long sojourns, yielding asymptotics markedly different from simple random walks. The walk is recurrent for $λ\ge1$ and transient for $0<λ<1$. In the transient regime it is sub-ballistic: its distance from the root grows logarithmically, with \[ \liminf_{n\to\infty}\frac{|X_n|}{\log n}=\frac{1}{\log(1/λ)},\quad \limsup_{n\to\infty}\frac{|X_n|}{\log n}=\frac{2}{\log(1/λ)},\quad\text{a.s.}. \] A contrast between spatial and temporal regeneration emerges. Let $C(n)$ be the number of cutpoints among the first $n$ backbone vertices and $M(N)$ the number of cut times up to time $N$. Then \[ \lim_{n\to\infty}\frac{C(n)}{n}= 1-λ,\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{M(N)}{\log N}=\frac{1-λ}{\log(1/λ)},\quad\text{a.s.}, \] so cutpoints have positive linear density while cut times grow only logarithmically.
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