超越内核对$\mathsf{GL}_2$在$\mathbb{Q}$上的分歧4：非椭圆部分的贡献
Beyond endoscopy for $\mathsf{GL}_2$ over $\mathbb{Q}$ with ramification 4: contribution of non-elliptic parts
AI总结：
本文继续研究$\mathsf{GL}_2$在$\mathbb{Q}$上的分歧情况下的工作，通过使用任意平滑测试函数，在$S=\{\infty,q_1,\dots, q_r\}$处的每个迹公式项上建立渐近公式，从而得到依赖于参数$X$的恒等式，最终将超几何部分贡献确定为谱侧的极限形式。
摘要：
我们继续研究$\mathsf{GL}_2$在$\mathbb{Q}$上的分歧情况下的工作。我们通过在$S=\{\infty,q_1,\dots, q_r\}$处使用任意平滑测试函数，对迹公式中的每个项在$n<X$的情况下建立渐近公式，误差为$o(X)$。这导致一个依赖于参数$X$的恒等式，从而得到某些可以视为$\mathsf{GL}_2$在$\mathbb{Q}$上的迹公式极限形式的恒等式。在谱侧，我们使用轮廓位移方法和里曼-勒贝格引理。在几何侧，恒等式部分和单侧部分都贡献$o(X)$。椭圆部分在之前的论文中被减少到双曲部分。最后，利用双曲泊松求和，我们将双曲部分重新联系到谱侧并确定其贡献。
英文摘要：
We continue our work on $\mathsf{GL}_2$ over $\mathbb{Q}$ in the ramified setting for \emph{Beyond Endoscopy}. We establish asymptotic formulas for each term of the trace formula when summing over $n<X$, using arbitrary smooth test functions at the places in $S=\{\infty,q_1,\dots, q_r\}$ where $2\in S$, for the standard representation, up to an error of $o(X)$. This yields an identity depending on a parameter $X$, leading to certain identities that can be regarded as a limit form of the trace formula for $\mathsf{GL}_2$ over $\mathbb{Q}$. On the spectral side, we employ the contour shift method and the Riemann-Lebesgue lemma. On the geometric side, both the identity part and the unipotent part contribute $o(X)$. The elliptic part was reduced to the hyperbolic part in a previous paper. Finally, using hyperbolic Poisson summation, we relate the hyperbolic part back to the spectral side and determine its contribution.
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