在双重退化嵌入本征值附近出现共振
Resonance near a doubly degenerate embedded eigenvalue
AI总结：
本文研究了双重退化嵌入本征值附近的共振现象，引入新概念并利用莫尔斯引理分析自伴扰动，获得谱密度渐进行为及阈值本征值的处理方法。
摘要：
本文扩展了作者在~\cite{LS}中发起的共振现象研究，以研究双重退化嵌入本征值（即二重本征值）的情况。除了~\cite{LS}中的方法外，引入了一个根本性的新概念来解决该研究中出现的困难。我们应用微分拓扑技术，即莫尔斯引理，来研究当前情况。这使我们能够理解拉普拉斯算子在$L^{2}(\mathbb{R}^{3})$上的二重自伴扰动，并结合~\cite{LS}中的方法，获得在双重退化嵌入本征值附近谱密度的渐进行为。重要的是，我们能够轻松处理阈值本征值情况。我们还分析了解释此类共振现象的重要性质，即驻留时间、散射截面和时间延迟的渐进行为。
英文摘要：
This paper extends the study of resonance phenomenon initiated by the authors in~\cite{LS} to the case of doubly degenerate embedded eigenvalues (i.e. eigenvalue of multiplicity two). A fundamentally new concept is introduced to resolve the difficulties that arise in this study, beyond the methods of \cite{LS}. We apply a differential topological technique, namely the Morse Lemma, to study the present case. This allows us to understand rank-two self-adjoint perturbations of the Laplacian on $L^{2}(\mathbb{R}^{3})$, and along with methods of \cite{LS}, we obtain asymptotic results for the spectral density near a doubly degenerate embedded eigenvalue. Importantly, we are able to easily handle the threshold eigenvalue case. \par We also analyze important properties which explain such resonance phenomenon, viz., asymptotic behaviour of the sojourn time, scattering cross-section and time delay.
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