非交换威尔茨尼克不变量，以及模形式微分方程
Higher Schwarzians
AI总结：
本文研究了黎曼面上线性微分算子的非交换不变量理论，提出了非交换 gauge-协变系数 I_m(L)，并探讨了其在模形式微分方程中的应用。
摘要：
我们开发了普通线性微分算子在黎曼面上的非交换不变量理论。对于一个monic二项式归一化的算子 L=∑_{k=0}^n {n\choose k}a_kD^{n−k}，其中 a_0=1，系数在关联微分代数中，我们构造了通用的 gauge-协变系数 I_m(L)。在修正其再参数化异常后，我们得到威尔茨尼克电流 W_m(L)，它们作为真正的 m-微分变换。该构造是代数的、有限层的，并且在非交换系数代数上有效；在交换标量情况下，它恢复了经典的威尔茨尼克不变量。我们通过jet丛和对角线的无穷小邻域将理论全局化。自然的全局对象是 A-线性 opers，其中 A 是具有兼容连接的关联代数 sheaf。在此设定中，P=I_2/(n+1) 是 A_{ad}-valued 项目连接，而 W_m，m≥3，是全局 A_{ad}-valued 微分；标量不变量通过迹、特征系数和循环迹多项式获得。作为应用，我们讨论了项目连接、对称幂、格拉斯曼流形中的扇形曲线、卡比-杨皮卡-富克斯方程、弱标量和矩阵值 W_2 结构以及模形式微分方程。在模形式设定中，电流成为模形式，第一个系数给出 Serre 导数下的模连接。我们还通过中心 Siegel 模形式连接和相关的等价微分代数扩展了该形式到 Siegel 空间。
英文摘要：
The classical Schwarzian can be computed directly from the coefficients of a second-order linear equation. We extend this coefficient viewpoint to monic operators of arbitrary order over unital associative differential algebras over the rationals. The normalized coefficients freely generate the universal gauge covariants under covariant differentiation. Projective normalization in the scalar case, followed by symmetrization, gives higher Schwarzians with compatible finite laws under changes of frame and parameter. On a complex curve, these invariants, together with the coefficient connection and quadratic datum, reconstruct the operator. On a compact curve of genus $g\ge2$, canonical Szegő kernels turn the construction into a tool for recovering bundle geometry. A bracket of the cubic invariant recovers marked extensions of acyclic line bundles with distinct cubics. Higher invariants through degree $4g-1$ separate acyclic line bundles and detect their self-extensions. For acyclic bundles of arbitrary rank, the full invariant jets at a point generate the associative span of the canonical monodromy. The same universal coefficient calculus gives automorphic tensors on Siegel modular varieties. For genus-two filtered symplectic connections with invertible Kodaira--Spencer map, matrix Schwarzian invariants determine where scalar equations selected by the Hodge filtration acquire apparent singularities. Exact Picard--Fuchs calculations exhibit these divisors and express their equations in Siegel modular forms. The exact calculations are supplied in a reproducible ancillary package.
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