一般位置多项式的显式公式与单峰性现象
Explicit Formulas and Unimodality Phenomena for General Position Polynomials
AI总结：
本文给出完全多部图的一般位置多项式显式公式，证明平衡完全多部图在部大小≤4时多项式对数凹且单峰，并分析冠状图保持单峰性的条件。
摘要：
图中的一般位置问题寻求最大的顶点集，使得没有三个顶点位于同一条测地线上。其计数细化，即一般位置多项式 $\psi(G)$，询问所有这样的可能集合。在本文中，我们描述了几类图的一般位置集，并给出了完全多部图的一般位置多项式的显式公式。我们专门研究平衡完全多部图，并证明对于部大小 $r\le 4$，多项式 $\psi(K_{r,\dots,r})$ 对于所有部数都是对数凹且单峰的，而对于更大的 $r$，反例表明这些性质不成立。最后，我们分析冠状图 $G\circ K_1$，并证明 $\psi(G)$ 的单峰性对于某些类得以保留，而对于完全二部图和完全多部图存在反例。这些结果验证了一般位置多项式与经典位置型参数之间的类比，并将平衡多部图和冠状图确立为进一步研究的潜在对象。
英文摘要：
The general position problem in graphs seeks the largest set of vertices such that no three vertices lie on a common geodesic. Its counting refinement, the general position polynomial $ψ(G)$, asks for all such possible sets. In this paper, We describe general position sets for several classes of graphs and provide explicit formulas for the general position polynomials of complete multipartite graphs. We specialize to balanced complete multipartite graphs and show that for part size $r\le 4$, the polynomial $ψ(K_{r,\dots,r})$ is log-concave and unimodal for all numbers of parts, while for larger $r$, counterexamples show that these properties fail. Finally, we analyze the corona $G\circ K_1$ and prove that unimodality of $ψ(G)$ is retained for some classes, and counterexamples exists for complete bipartite and complete multipartite graphs. The results verify the analogy between general position polynomials and classical position-type parameters, and establish balanced multipartite graphs and coronas as potential subjects for further investigation.
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